XXVI OIM 2011

Problema

Juego de intercambios con piedras coloreadas

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:59.

Sean k y n enteros positivos con k2. En una línea recta se tienen kn piedras de k colores diferentes. de tal forma que hay n piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo m tal que siempre es posible lograr con a lo sumo m pasos que las n piedras de cada color queden seguidas si:

  • a) n es par,
  • b) n es impar y k=3
Problema

Desigualdad con multiplicadores en {1,1}

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:55.

Sean x1,x2,,xn números reales positivos. Demostrar que existen a1,a2,,an{1,1} tales que  a1x21+a2x22++anx2n(a1x1+a2x2++anxn)2

Problema

Ortocentro de un acutángulo

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:54.

Sea ABC un triángulo acutángulo con ACBC, y sea O su circuncentro. Sean P y Q puntos tales que BOAP y COPQ son paralelogramos. Demostrar que Q es ortocentro de ABC.

Problema

Triángulo con incírculo y tres circunferencias más

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:53.

Sea ABC un triángulo y sean X,Y,Z los puntos de tangencia de su incírculo con los lados BC,CA,AB, respectivamente. Suponga que C1,C2,C3 son circunferencias con cuerdas XY,ZX,YZ, respectivamente, tales que C1 y C2 se cortan sobre la recta CZ y que C1 y C3 se corten sobre la recta BY. Suponga que C1 corta a las cuerdas XY y ZX en J y M, respectivamente; que C2 corta a las cuerdas YZ y XY en L e I, respectivamente; y que C3 corta a las cuerdas YZ y ZX en K y N, respectivamente. Demostrar que I,J,K,L,M,N están sobre una misma circunferencia.

Problema

Ecuación de inversos OIM 2011

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:51.

Encontrar todos los enteros positivos n para los cuales existen tres enteros no nulos x,y,z tales que x+y+z=0 y 1x+1y+1z=1n

Problema

Por 2, por 3 o más uno

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:49.

En la pizarra está escrito el número 2. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.

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