XXVI OIM 2011
Juego de intercambios con piedras coloreadas
Sean k y n enteros positivos con k≥2. En una línea recta se tienen kn piedras de k colores diferentes. de tal forma que hay n piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo m tal que siempre es posible lograr con a lo sumo m pasos que las n piedras de cada color queden seguidas si:
- a) n es par,
- b) n es impar y k=3
Desigualdad con multiplicadores en {−1,1}
Sean x1,x2,…,xn números reales positivos. Demostrar que existen a1,a2,…,an∈{−1,1} tales que a1x21+a2x22+…+anx2n≥(a1x1+a2x2+…+anxn)2
Ortocentro de un acutángulo
Sea ABC un triángulo acutángulo con AC≠BC, y sea O su circuncentro. Sean P y Q puntos tales que BOAP y COPQ son paralelogramos. Demostrar que Q es ortocentro de ABC.
Triángulo con incírculo y tres circunferencias más
Sea ABC un triángulo y sean X,Y,Z los puntos de tangencia de su incírculo con los lados BC,CA,AB, respectivamente. Suponga que C1,C2,C3 son circunferencias con cuerdas XY,ZX,YZ, respectivamente, tales que C1 y C2 se cortan sobre la recta CZ y que C1 y C3 se corten sobre la recta BY. Suponga que C1 corta a las cuerdas XY y ZX en J y M, respectivamente; que C2 corta a las cuerdas YZ y XY en L e I, respectivamente; y que C3 corta a las cuerdas YZ y ZX en K y N, respectivamente. Demostrar que I,J,K,L,M,N están sobre una misma circunferencia.
Ecuación de inversos OIM 2011
Encontrar todos los enteros positivos n para los cuales existen tres enteros no nulos x,y,z tales que x+y+z=0 y 1x+1y+1z=1n
Por 2, por 3 o más uno
En la pizarra está escrito el número 2. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.
