VII OIM 1992

A partir del triángulo $T$ de vértices $A, B, C$, se construye el hexágono $H$ de vértices $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ como se muestra en la figura. Demostrar que

Se dan la circunferencia $\Gamma$ y los números positivos $h, m$ de modo que existe un trapecio $ABCD$, inscrito en $\Gamma$, de altura $h$ y tal que la suma de sus bases $AB$ y $CD$ es $m$. Construir el trapecio $ABCD$.

Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones de números enteros que verifican las siguientes condiciones:

• i) $a_0 = 0, b_0 = 8$
• ii) $a_{n+2} = 2a_{n+1}-a_n+2, b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n$
• iii) $a_n^2+b_n^2$ es un cuadrado perfecto para todo $n$.

Determinar al menos dos valores del par $(a_{1992}, b_{1992})$.

 En un triángulo equilátero $ABC$, cuyo lado tiene longitud 2, se inscribe la circunferencia $\Gamma$.

• a) Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices $A, B$ y $C$ es 5.
• b) Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$, es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $AP, BP$ y $CP$, y cuya área es $\sqrt{3}/4$

Sean dados la colección de $n$ números reales positivos $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$, y la función $$f(x)=\frac{a_1}{x+a_1}+\frac{a_2}{x+a_2}+\ldots +\frac{a_n}{x+a_n}$$  Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los valores de $x$ tales que $f(x)\gt 1$.

Para cada entero positivo $n$, sea $a_n$ el último dígito del número $1+2+3+ ...+n$. Calcular $a_1 + a_2 + a_3 +\ldots+a_{1992}$.