I OIM 1985

Problema

Cevianas por el circuncentro

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 12:12.

 Dado un triángulo $ABC$, considere los puntos $D, E, F$ en las rectas $BC, AC, AB$, respectivamente. Si las rectas $AD, BE, CF$ pasan todas por el centro $O$ del circuncírculo de $ABC$, cuyo radio es $r$, demostrar que
$$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CE}=\frac{2}{r}$$

Problema

Un ejercicio en álgebra

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 11:10.

 Demostrar que si $x\neq1, y\neq1, x\neq{y}$ y $$ \frac{yz-x^2}{1-x}=\frac{zx-y^2}{1-y}$$
entonces ambas fracciones son iguales a $x + y + z$.

Problema

Vieta y la desigualdad de las medias

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 11:01.

 Halle las raíces $r_1, r_2, r_3, r_4$ de la ecuación:
$$4x^4 – ax^3 + bx^2 – cx + 5 = 0$$
Sabiendo que son reales positivos, y que
$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1$$

Problema

Punto en el interior de un equilátero

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 10:53.

 Sea $P$ un punto interior al triángulo equilátero $ABC$ tal que:
$$PA = 5, PB = 7, PC = 8$$
Encontrar la longitud del lado del triángulo ABC.

Problema

Vieta y los polinomios simétricos

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 10:48.

 Encontrar todas las ternas de enteros $(a, b, c)$ tales que:
$$a + b + c=24$$
$$a^2 + b^2 + c^2=210$$
$$abc=440$$

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 5 de 1985)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 05:43.

A cada número natural n se le asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfacen las siguientes condiciones:

  • (i) $f(rs)=f(r)+f(s)$
  • (ii) $f(n)=0$, si el dígito de las unidades de n es 3
  • (iii) $f(10)=0$

 

Hallar $f(1985)$

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