Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\neq BC$, y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Demostrar que $Q$ es ortocentro de $ABC$.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\neq BC$, y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Demostrar que $Q$ es ortocentro de $ABC$.
Sea R el radio del incirculo,
Sea R el radio del incirculo, y M el punto medio de AB, de ahí es facil ver que PO es mediatriz de AB (por tanto perpendicular a AB), por consiguiente, CQ es perpendicular a AB (por tanto altura) al ser paralela a PO.
Basta demostrar que Q esta sobre la recta de Euler para que sea el Ortocentro
Sea G la intersección de CM con QO, es claro que CM es mediana, y que los triangulos CGQ y MGO son semejantes, a razón de 2:1
(ya que CQ=R=PO=2OM)...
De donde CG=2MG, por tanto G es el baricentro, y OG la recta de Euler, de donde se concluye que Q es ortocentro por estar sobre una altura (:
Los Saluda Brandon Guzmán