XIII OMCC

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sean $Y$ y $Z$ los pies de las perpendiculares desde $B$ y $C$ sobre $FD$ y $DE$, respectivamente. Sea $F_1$ la reflexión de $F$ con respecto a $E$ y $E_1$ reflexión de $E$ respecto a $F$. Si $3EF = FD+DE$ demuestra que $\angle BZF_1 = \angle CYE_1$.

Nota. La reflexión de un punto $P$ respecto a un punto $Q$ es el punto $P_1$ ubicado sobre la recta $PQ$ tal que $Q$ queda entre $P$ y $P_1$, y $PQ = QP_1$

Los números reales positivos $x$, $y$, $z$ son tales que:

$$x+ \frac{y}{z} = y + \frac{z}{x} = z + \frac{x}{y} = 2$$

Determina todos los valores posibles de $x+y+z$.

Encuentra todos los enteros positivos $p$, $q$ y $r$, con $p$ y $q$ números primos, que satisfacen la igualdad:

$$\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1} - \frac{1}{(p+1)(q+1)} = \frac{1}{r}$$

Aplicar un desliz a un entero $n \geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y remplazar $n$ por $\frac{n + p^2}{p}$.

Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido se le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número 5.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno, $D$ el pie de la altura desde $A$, $E$ la intersección del lado $AC$ con la bisectriz del lado $\angle ABC$, y $F$ un punto sobre el lado $AB$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y sean $X$, $Y$ y $Z$ los puntos donde se cortan las rectas $AD$ con $BE$, $BE$ con $CF$, $CF$ con $AD$, respectivamente. Si $XYZ$ es un triángulo equilátero, demuestra que uno de los triángulos $OXY$, $OYZ$, $OZX$ es un triángulo equilátero.

En cada uno de los vértices de un cubo hay una mosca. Al sonar el silbato cada una de las moscas vuela a alguno de los vértices del cubo situado en una misma cara del vértice de donde partió, pero diagonalmente opuesto a éste. Al sonar el silbato ¿de cuántas maneras pueden volar las moscas de modo que en ningún vértice queden dos o más moscas?