Diofantina con tres primos (P4)

no puede ser!!!! este problema un maestro en la facultad no los puso y no supe como hacerlo...... y aun no se como hacerlo :S si me lo pudieran explicar sería feliz :D

Haber ami se me ocurrio hacer esto

$ \frac{1}{p+1}$+$ \frac{1}{q+1}$ - $ \frac{1}{(p+1)(q+1)}$ = $ \frac{p+q+1}{(p+1)(q+1)}$ = $ \frac{1}{r}$

tomando los inversos vemos que r = $ \frac{(p+1)(q+1)}{p+q+1}$

Caso 1 p=q

r = $ \frac{(p+1)^2}{2p+1}$ notemos que 2p+1 es impar y r es un  entero entonces $(p+1)^2$ debe se impar entonces p+1 es impar entonces p es par y primo entonces p=2 pero sustituyendo eso nos da que r = $ \frac{(2+1)^2}{2*2+1}$ = $ \frac{9}{5}$ contradiccion ya que r era un entero

Caso 2.1 p $\ne$ q y sin perdida de generalidad supongamos p=2 entonces tenemos que r = $ \frac{(3)(q+1)}{q+3}$ = $ \frac{(3q+3)}{q+3}$ = $ \frac{(3q+9-6)}{q+3}$ = 3 - $ \frac{(6)}{q+3}$ ahora para que $ \frac{(6)}{q+3}$ sea entero positivo y que q sea entero positivo y primo solo esta la opcion q=3

de aqui vemos que p=2 q=3 nos da r=2 aplicando lo mismo para q=2 obtenemos que  q=2 p=3 r=2 es otra solucion.

 Caso 2.2 p $\ne$ q y sin perdida de generalidad supongamos p>q y tambien tenemos que ambos son impares dado que ya he descartado el caso cuando ambos lo son o solo uno y tambien hay que darse cuenta que p>q+1 ya que al ser dos primos impares distintos en lo menos que pueden diferir es en 2.

tomemos la ecuacion r = $ \frac{(p+1)(q+1)}{p+q+1}$ y hagamos un poco de algebra para que quede como (p+q+1)r=(p+1)(q+1) ahora calculemos algunos maximos comunes divisores

(p+q+1,q+1)=(p,q+1) ahora como p es primo solo hay las siguientes opciones (p,q+1)=p o (p,q+1)=1 la primera no puede se ya que p>q+1 entonces tenemos que (p+q+1,q+1)=(p,q+1)=1 osea son primos relativos y no comparten ningun factor. 

(p+q+1,p+1)=(q,p+1) lo mismo solo hay 2 opciones ya que q es primo  (q,p+1)=1 o (q,p+1)=q la primera implica que (p+q+1,p+1)=(q,p+1)=1 entonces tampoco comparte ningun factor entonces en la ecuacion (p+q+1)r=(p+1)(q+1) ya que (p+q+1) no tiene ningun factor comun con p+1 ni con q+1 significa que p+q+1=1 por lo que p=-q ya que los primos son positivos esta es una contradiccion y viene de suponer (p+q+1,p+1)=(q,p+1)=1  entonces (p+q+1,p+1)=(q,p+1)=q de aqui se ve que q divide a p+1es decir p+1=q*k con k algun entero.

Tomando (p+q+1)r=(p+1)(q+1) y sustituyendo el hecho de que p+1=q*k tenemos que (q*k+q)r=q*k(q+1) o que q(k+1)r=q*k(q+1) cancelando las q ya que son distintas de cero tenemos que (k+1)r=k(q+1) de aqui tenemos lo siguiente (k+1,k)=1 es decir son primos relativos entonces r=k y q+1=k+1 y se sigue que r=k q=k ahora tambien sabiamos que p+1=q*k=$q^2$ y esta es una contradiccion ya que p es impar entonces p+1 es par pero q tambien es impar entonces $q^2$ es impar pero la ec anterior dice que hay un par impar contradiccion.

Por lo tanto las unicas soluciones son (p=2 q=3 r=2) y (p=3 q=2 r=2)

Hola Adiel, qué gusto saludarte. Muchas gracias por tu solución.

Yo sólo veo un par de detalles en ésta.

1. En el caso 1 dice que $2p+1$ es impar y divide a $(p+1)^2$ y que por lo tanto $(p+1)^2$ es impar. En general no es cierto que si $a|b$ y $a$ es impar entonces $b$ deba de ser impar también. Por ejemplo. $3$ divide a $36 = 6^2$
2. El otro detalles es en la parte donde dices:

   tenemos que (k+1)r=k(q+1) de aqui tenemos lo siguiente (k+1,k)=1 es decir son primos relativos entonces r=k y q+1=k+1

   Pues no es cierto que si $ac = bd$ y $(a,b)=1$ implique que $a=d$ y $c=b$. Por ejemplo $4 \times 9 = 3 \times 12 $.

Bueno, esa sería toda mi observación. Yo creo que te faltó meter al juego que ya habías probado $(p+q+1,q+1) =1$, pero no me creas, no lo he pensado con calma.

Saludos Adiel y muchas gracias nuevamente.

Hola Jesus es un gusto saber de ti haber si luego me actualizas de tu doctorado, tu libro ,etc.Gracias por la correcion haber si luego te veo por la facultad.

Esta creo que si es una buena solucion.

Haciendo algebra obtenemos que $r = \frac{(p+1)(q+1)}{p+q+1}$ Lo dividimos en dos casos

Caso 1) p=q

Por lo que $r = \frac{(p+1)(q+1)}{p+q+1} =\frac{pq+p+q+1}{p+q+1} = 1 + \frac{p^2}{2p+1}$ ahora notemos que $(p,2p+1)=1$ lo que implica que $(p^2,2p+1)=1$  entonces no tienen ningun factor en comun entonces para que $\frac{p^2}{2p+1}$ sea entero entonces $2p+1 = 1$ lo que implica que $p=0$ pero p=0 no es primo asi que se descarta esta solucion.

Caso 2.1) p $\ne$ q lo mismo que en la respuesta anterior

 Y sin perdida de generalidad supongamos p=2 entonces tenemos que r = $ \frac{(3)(q+1)}{q+3}$ = $ \frac{(3q+3)}{q+3}$ = $ \frac{(3q+9-6)}{q+3}$ = 3 - $ \frac{(6)}{q+3}$ ahora para que $ \frac{(6)}{q+3}$ sea entero positivo y que q sea entero positivo y primo solo esta la opcion q=3

de aqui vemos que p=2 q=3 nos da r=2 aplicando lo mismo para q=2 obtenemos que  q=2 p=3 r=2 es otra solucion.

 Caso 2.2) p $\ne$ q 

Y sin perdida de generalidad supongamos p>q y tambien tenemos que ambos son impares dado que ya he descartado el caso cuando ambos lo son o solo uno y tambien hay que darse cuenta que p>q+1 ya que al ser dos primos impares distintos en lo menos que pueden diferir es en 2.

$r = \frac{(p+1)(q+1)}{p+q+1} =\frac{pq+p+q+1}{p+q+1} = 1 + \frac{pq}{p+q+1}$

ahora calculemos $(p,p+q+1)=(p,q+1)=1$ ya que p es primo y $0<q+1<p$ ahora $(q,p+q+1)=(q,p+1)$ aqui se tienen 2 casos $(q,p+q+1)=(q,p+1)=1$ o $(q,p+q+1)=(q,p+1)=q$ del primer caso implica que p+q+1 no tiene factores en comun con q y tampoco con p  entonces para que $\frac{pq}{p+q+1}$ sea un entero $p+q+1=1$ implicando que $p=-q$ y esto  no puede ser ya que p y q son positivos el error viene de suponer $(q,p+q+1)=(q,p+1)=1$ entonces $(q,p+q+1)=(q,p+1)=q$ entonces $q+p+1=q*k$ sustituyendo esto en $\frac{pq}{p+q+1}$ tenemos que $\frac{pq}{q*k}=\frac{p}{k}$ de aqui solo hay pocas opciones para que esto sea entero y positivo o $k=1$ o $k=p$ ahora $k=1$ en $q+p+1=q*k$ tenemos que $q+p+1=q$ lo que implica que $p=-1$ contradiccion ya que p debe ser positivo.

Ahora $k=p$ en $q+p+1=q*k$ tenemos que $q+p+1=q*p$ lo que implica que $p=\frac{q+1}{q-1}$ ahora la unica forma en que esto se entero es que $q-1=1$ o $q-1=2$ (esto por que (q+1,q-1)=1 o 2) entonces q=2 o q=3 lo que da que p=3 y p=2 la seguna da que q>p contradiccion entonces la unica solucion es q=2 p=3 r=2 en este caso.

Por lo tanto ahora si las unicas soluciones son $(p,q,r)=(2,3,2)$ y $(p,q,r)=(3,2,2)$

 Saludos Jesùs y gracias por las correciones

Primero llegamos con algebrita a que

$$r=1+\frac{pq}{p+q+1}$$

Por lo que tenemos que:

$$p+q+1|pq$$

Pero como $p$ y $q$ son primos, los únicos divisores de $pq$ son $1,p,q,pq$ y como $p+q+1$ es mayor que $p$ y que $q$, entonces tenemos que

$$p+q+1=pq$$

Eso se puede reescribir como

$$2=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)$$

Y como $2$ es primo un factor tiene que ser $1$ y el otro $2$, S.P.D.G. $p-1=1$, y por lo tanto $q-1=2$ y se tiene que $p=2,q=3$. Luego sustituyendo tenemos que $r=2$.

Por lo que tenemos las ternas $(2,3,2)$ y $(3,2,2)$ que se pueden comprobar facilmente en la ecuación original.