Enviado por iwakura_isa el 2 de Julio de 2011 - 10:20.
Un comentario primero, el problema original decía reales positivos. Esto es importante mencionarlo, porque mi solución es valida solamente para reales positivos (técnicas que utilizé debido a que el problema decía reales positivos).
Escribimos las ecuaciones como
xz+y=2z
xy+z=2x
zy+x=2y
Sumando las tres llegamos a la ecuacion 1:
xy+yz+zx=x+y+z
Luego por MA-MG
yz+zx+xy≥33√yzxzxy=3
Sumando las tres originales tenemos
x+y+z+yz+zx+xy=6
Entonces por la desigualdad y la igualdad
3≥x+y+z
Además por MA-MG
3≥x+y+z≥33√xyz
Por lo que tenemos
1≥xyz
Ahora escribimos las ecuaciones como
xy=2−z
yz=2−x
zx=2−y
Multiplicandolas obtenemos
1=(2−z)(2−x)(2−y)
Que es lo mismo que
1=8−4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)−xyz
Y por la ecuación 1 y un reacomodo tenemos que
7−xyz=2(x+y+z)
Por 3≥x+y+z y por 1≥xyz tenemos que
7−xyz≥6≥2(x+y+z)
Entonces la igualdad se logra si y solo si ambos son iguales a 6
7−xyz=6=2(x+y+z)
Por lo que
x+y+z=3
Y es facil encontrar al menos un caso de igualdad que cumple todo con (x,y,z)=(1,1,1)
Un comentario primero, el
Un comentario primero, el problema original decía reales positivos. Esto es importante mencionarlo, porque mi solución es valida solamente para reales positivos (técnicas que utilizé debido a que el problema decía reales positivos).
Escribimos las ecuaciones como
xz+y=2z
xy+z=2x
zy+x=2y
Sumando las tres llegamos a la ecuacion 1:
xy+yz+zx=x+y+z
Luego por MA-MG
yz+zx+xy≥33√yzxzxy=3
Sumando las tres originales tenemos
x+y+z+yz+zx+xy=6
Entonces por la desigualdad y la igualdad
3≥x+y+z
Además por MA-MG
3≥x+y+z≥33√xyz
Por lo que tenemos
1≥xyz
Ahora escribimos las ecuaciones como
xy=2−z
yz=2−x
zx=2−y
Multiplicandolas obtenemos
1=(2−z)(2−x)(2−y)
Que es lo mismo que
1=8−4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)−xyz
Y por la ecuación 1 y un reacomodo tenemos que
7−xyz=2(x+y+z)
Por 3≥x+y+z y por 1≥xyz tenemos que
7−xyz≥6≥2(x+y+z)
Entonces la igualdad se logra si y solo si ambos son iguales a 6
7−xyz=6=2(x+y+z)
Por lo que
x+y+z=3
Y es facil encontrar al menos un caso de igualdad que cumple todo con (x,y,z)=(1,1,1)
Gracias Isaí, me parece muy
Gracias Isaí, me parece muy buena tu solución. Y muchas gracias por toda tu colaboración. Ya puse que los números eran reales positivos.
Saludos