Sistema de ecuaciones en tres variable (P5)

Versión para impresión
Su voto: Ninguno Media: 2.5 (2 votos)

Los números reales positivos x, y, z son tales que:

x+yz=y+zx=z+xy=2

Determina todos los valores posibles de x+y+z.




Imagen de iwakura_isa

Un comentario primero, el

Un comentario primero, el problema original decía reales positivos. Esto es importante mencionarlo, porque mi solución es valida solamente para reales positivos (técnicas que utilizé debido a que el problema decía reales positivos).

Escribimos las ecuaciones como

xz+y=2z

xy+z=2x

zy+x=2y

Sumando las tres llegamos a la ecuacion 1:

xy+yz+zx=x+y+z

Luego por MA-MG

yz+zx+xy33yzxzxy=3

Sumando las tres originales tenemos

x+y+z+yz+zx+xy=6

Entonces por la desigualdad y la igualdad

3x+y+z

Además por MA-MG

3x+y+z33xyz

Por lo que tenemos

1xyz

Ahora escribimos las ecuaciones como

xy=2z

yz=2x

zx=2y

Multiplicandolas obtenemos

1=(2z)(2x)(2y)

Que es lo mismo que

1=84(x+y+z)+2(xy+yz+zx)xyz

Y por la ecuación 1 y un reacomodo tenemos que

7xyz=2(x+y+z)

Por 3x+y+z y por 1xyz tenemos que

7xyz62(x+y+z)

Entonces la igualdad se logra si y solo si ambos son iguales a 6

7xyz=6=2(x+y+z)

Por lo que

x+y+z=3

Y es facil encontrar al menos un caso de igualdad que cumple todo con (x,y,z)=(1,1,1)

 

Imagen de jesus

Gracias Isaí, me parece muy

Gracias Isaí, me parece muy buena tu solución. Y muchas gracias por toda tu colaboración.  Ya puse que los números eran reales positivos.

Saludos