XVI Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe

Un entero positivo n es divertido si para todo divisor positivo d de n, d+2 es un número primo. Encuentre todos los npumeros divertidos que tengan la mayor cantidad posible de divisores.

Se marcan los puntos A, B, C, D sobre una recta, en ese orden, con AB y CD mayores que BC. Se construyen triángulos equiláteros APB, BCQ y CDR, con P, Q y R del mismo lado respecto a AD. Si el ángulo PQR mide 120 grados, pruebe que
$$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{BC}$$

Con cuadrados de lado 1 se forma en cada etapa una figura en forma de escalera siguiendo el patron del dibujo 

Por ejemplo, la primera etapa utiliza un cuadrado, la segunda utiliza 5. Determine la última etapa para la cual la figura correspondiente utiliza menos de 2014 cuadrados.

Sean $a,b,c$ y $d$ números todos distintos entre sí, tales que
$\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4$ y $ac=bd$

Determine el máximo valor de posible de
$\frac{a}{c} +\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}$

Sea  un trapecio $ABCD$ de bases $AB$  y $CD$ , inscrito en una circunferencia de radio $O$. Sea $P$ la intersección de las rectas $AD$ y $BC$ . Una circunferencia por $O$ y $P$  corta a los segmentos $BC$ y $AD$ en puntos interiores $F$ y $G$ respectivamente. Muestre que $BF=DG$ .

Un entero positivo se denomina tico si es el producto de tres números primos diferentes que suman 74. Verifique que 2014 es tico. ¿Cuál será el próximo año tico? ¿Cuál será el último año tico de la historia?