Dados dos enteros positivos $n$ y $a$, se forma una lista de 2001 números como sigue:
- el primer número es $a$;
- a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir al cuadrado del anterior entre $n$.
A los números de la lista se les ponen los signos $+$ y $-$, alternadamente
empezando con $+$. Los números con signo así obtenidos se suman, y a esa suma se le llama suma final para $n$ y $a$.
¿Para qué enteros $n \geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2 \leq a \leq n/2$, y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?
Respuesta. para todos los
Respuesta. para todos los enteros $ n \geq 5$ existe una $a$ tal que la suma final de para $n$ y $a$ es positiva
Supongamos que $ a^2_0\equiv a_1 \pmod{n}$ para alguna $a_0$ que cumpla las condiciones luego sea $a^2_i \equiv a_{i+1} \pmod{n}$ para $i = 0,1,2,\cdots, 2001$ y todas las $a_i$ menores a $n$. Asi obtenemos la siguiente lista: $$ a_1 - a_2 + \cdots + a_{2001 }$$ si esto mayor a cero ya terminamos pero supongamos que no, entonces
$ 0 \geq a_1 - a_2 + \cdots + a_{2001}$ por lo que $0 \geq (a_1 + a_3 + \cdots + a_{2001}) - (a_2 + a_4 + \cdots + a_{2000})$ por lo que $$ (a_2 + a_4 +\cdots + a_{2000}) \geq (a_1 + a_3 + \cdots + a_{2001})$$ y luego construimos la siguiente lista:
$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots + a_{2000}$ que es igual a $[1] (a_0 + a_2 \cdots + a_{2000}) - (a_1 + \cdots + a_{1999})$ pero $$ (a_0 + a_2 + \cdots + a_{2000}) \geq (a_2 + \cdots + a_{2000}) \geq (a_1 + \cdots + a_{2001}) \geq (a_1 + a_3 + \cdots + a_{1999})$$ de donde resulta que $$ (a_0 + a_2 + \cdots + a_{2000}) \geq (a_1 + a_3 + \cdots + a_{1999})$$ pero esto es nuestra expresion en $[1] $ que es nuestra segunda lista de donde es obvio que es positiva la suma final. Luego asi en ambos casos se logra lo deseado.
Saludos
Germán.
Germán, algo debe fallar en
Germán, algo debe fallar en tu solución. Porque si n=5, la ùnica a que cumple es 2. Pero entonces la lista es 2,4,1,1,...,1. Y la suma final es -1 (pues 2-4=-2 y los unos que siguen se cancelan hasta el 2000, así que al restar el uno final la suma queda -1).
Te saluda
¡Muy bien! Casi perfectamente
¡Muy bien! Casi perfectamente bien contestado.
Sólo que tu demostración empieza suponiendo que existe $a_0$ pero faltaría justificar o explicar que realmente exista. Estúdialo, ahí te va salir que $n=5$ no sirve y tendrás que justificar un par de casos más.
Saludos
Ah claro, ya vi el problema
Ah claro, ya vi el problema $a_0$ siempre existe el detalle esta en la construccion de la primera lista pues se asegura que $a_1$ va a cumplir las condiciones, en el caso n=5 seria $a_0 =2$ pero la construccion con $a_1=4$ no va funcionar pues claramente 4, no satisface.Entonces para n=5 no es posible, si n=6 entonces tomamos $ a_0=3$ para que $a_1 =3$ si n=7 tomamos otra vez $a_0=3$ asi $a_1=2$ y despues para todo entero n mayor a 8, es posible tomar $a_0 = 2$.
Saludos.
Sí muy bien, ese era el
Sí muy bien, ese era el detalle. Yo decía que $a_0$ no siempre existe pues había entendido que empezabas tomando $a_1$ y suponiendo la existencia de $a_0$. Pero entonces debí señalar que el error era sobre $a_1$, pues no necesariamente satisfacía la condición.
Bueno, entonces con esto que acabas de agregar queda completa tu demostración.
Saludos