En un cuadrilátero ABCD, inscrito en una circunferencia, llamemos P al punto de intersección de las diagonales AC y BD, y sea M el punto medio de CD. La circunferencia que pasa por P y que es tangente a CD en M corta a BD y AC en los puntos Q y R respectivamente. Se toma un punto S sobre el segmento BD de tal manera que BS=DQ. Por S se traza una paralela a AB que corta a AC en un punto T. Prueba que AT=RC.
En la descripcion del
En la descripcion del problema faltaria decir que la circunferencia que pasa por P es tangente a CD en M.
Supongamos que 1)AT=RC. y que la circunferencia que pasa por P es tangente a CD en un punto H
Como TS es paralela a AB se tendra que el cuadrilatero ABCD es cilico, de esto y por tales, tendremos que ATBS=DPCP. Sustituyendo por la igualdad en 1) y por dato, tenemos que RCDQ=DPCPy luego RC⋅CP=DQ⋅DP pero por potencia el primer lado de la igualdad es CH2 y el segundo sera DH2 entonces, AT=CR si y solo si CH2=DH2 si y solo si CH=DH si y solo si H=M.
Saludos
Germán.
Tienes toda la razón German,
Tienes toda la razón German, faltó esa redacción en el problema. Y tu lo has demostrado que ese dato es el que necesitas.
Aunque para mi parecer, has demostrado que AT=CR⟹H=M, pero en el reverso me quedaron mis dudas. Mi duda fue en la parte CH2=DH2⟹AT=CR; creo que faltaron detalles.
Sería algo así, suponiendo HM llegamos a que CH2=DH2 lo que implica que RC⋅CP=DQ⋅DP ... ¿Y de aquí como siguerías?
Saludos
Jesús
Bueno, al principio se
Bueno, al principio se demostraba que ATBS=DPPC.
Continuando, intercambiamos DQ por BS ya que por dato son iguales, y queda RC⋅CP=BS⋅DP lo que implica que RCBS=DPPC combinando esto con la igualdad del principio se vuelve a lo deseado.
Saludos
Germán.
¡Perfecto German! Ya cambié
¡Perfecto German!
Ya cambié la redacción del problema.
Saludos