En una exploración de superficie, observamos que la ecuación se puede escribir como 3x2−3y2+x−y=y2. Es decir, como 3(x−y)(x+y)+x−y=y2. ¿Nos sirve eso de algo?
Bueno, posiblemente si continuamos la exploración y observamos que el lado izquierdo puede factorizarse. Ello nos conduce a buscar demostrar la coprimalidad de los factores x−y y 3(x+y)+1.
Porque si fuesen coprimos podríamos concluir que cada factor es cuadrado perfecto --según un teorema conocido.
Pero quizá sea mejor un cambio de variable (pues parece que la demostración de coprimalidad no es evidente en ese caso): z=x-y. Con este cambio, la ecuación queda como z[3(z+2y)+1]=y2. Es decir, como y2−6zy−3z2−z=0, una cuadrática. ¿Y qué ganamos con eso? Ganamos en que podemos avanzar: el discriminante tiene que ser cuadrado perfecto.
y=6z±√36z2+12z2+4z2
=6z±√48z2+4z2
Si factorizamos el 4 dentro de la raíz y lo sacamos como 2 podemos ver que 12z2+z=z(12z+1) tiene que ser cuadrado perfecto --para que
la y sea entero. Y aquí sí tenemos lo que buscábamos: z y 12z+1 son coprimos. De aquí que ambos deben ser cuadrados perfectos. Es decir, z=x−y es cuadrado perfecto. Como se quería.
Nota: Para ver la coprimalidad considere el lector que f es factor común de z y 12z+1; digamos que z=fz′ y 12z+1=fZ′. Entonces 12fz′+1=fZ′, y se logra ver que f divide al 1, es decir, es 1.