Avanzado

En un circunferencia hay $3n$ puntos que la dividen en $3n$ arcos. De estos arcos $ n$ miden 1,  $n $ miden 2 y el resto mide 3. Demuestra que existen dos de estos puntos diametralmente opuestos.

Sea $P=\{P_1, P_2, \dots, P_{1997}\}$ un conjunto de 1997 puntos en el interior de un círculo de radio 1, siendo $P_1$ el centro del círculo. Para cada $k=1, \dots, 1997$ sea $x_k$ la distancia de $P_k$ al punto de $ P$ más próximo a $P_k$ y distinto de $P_k$. Demostrar que:

$$x_1^2 + x_2^2 + \cdots +x_{1997}^2 \leq 9$$

Dentro de un pentágono de área 1993 se encuentran 995 puntos. Considere estos puntos junto con los vértices del pentágono.

Muestre que, de todos los triángulos que se pueden formar con los 1000 puntos anteriores como vértices, hay al menos uno de área menor o igual que 1.

Encontrar todos los enteros positivos $ n $ para los cuales el conjunto $A= \{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}$ puede particionarse en dos subconjuntos con el mismo producto de sus miembros (el producto de los números en uno de los subconjuntos es igual al producto de los números en el otro).
 

Sea $ ABC$ un triángulo y sean $ D$, $ E$ y $ F$ los puntos donde la circunferencia circunscrita es tangente al lado $ BC$, $CA$ y $ AB$. Llamemos $D'$ el punto donde la recta $EF$ corta a la recta $AB$. Demuestra que:

a) $D'$ es el conjugado armónico de $D$ con respecto al segmento $ AB$.

b) Que la recta $AD$ es la polar de $D'$ respecto al incírculo.

Demuestra que si $ p$ es un primo impar que divide a $n^2 +1$ para algún $ n$, entonces $ p$ debe ser de la forma $4k+1$, es decir, $p \equiv 1$ (mód  4).

Demuestre que existen infinitos $ m $ enteros positivos tales que $n^4 + m$ es un número compuesto para cualquier $ n $ entero positivo.

Sean $C_1, C_2, C_3$ tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos. Definamos los siguientes puntos; $R=C_1 \cap C_2$ $S=C_1 \cap C_3$ y $T=C_2 \cap C_3$ , sean $X, Y$ los puntos sobre $C_2, C_3$ de modo que $XY$ sea la tangente comun y esta no pase por $C_1$. Sea $J$ la interseccion de la tangente a $C_1, C_2$ por $R$ y a la tangente comun a $C_1, C_3$ por $S$.

Las bisectrices internas de los ángulos A, B y C de un triángulo ABC concurren en I y cortan
al circuncírculo de ABC en L, M y N, respectivamente. La circunferencia de diámetro IL,
corta al lado BC, en D y E; la circunferencia de diámetro IM corta al lado CA en F y G;
la circunferencia de diámetro IN corta al lado AB en H y J. Muestra que D, E, F, G, H,
J están sobre una misma circunferencia.

Un triangulo $ ABC $  tiene ortocentro $ H $. La circunferencia con centro en el punto medio de $ BC $, que pasa por $ H $, corta a la recta $ BC $ en $A_1$y$A_2$, de manera similar se definen los puntos $B_1,B_2$ en la recta $CA$ y $C_1,C_2$ en la recta $AB$. Demuestra que los puntos $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ estan en una misma circunferencia.