Clasificación de primos que dividen a un cuadrado más uno

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Demuestra que si p es un primo impar que divide a n2+1 para algún n, entonces p debe ser de la forma 4k+1, es decir, p1 (mód  4).




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Utilizando residuos

Utilizando residuos cuadráticos podemos llegar a conclusiones interesantes. No tengo la demostración del Teorema que utilizaré, pero seguiré intentando (hace mucho que lo vi).

El Símbolo de Legendre se define como

(ap)={0si a|p1si a es residuo cuadratico modulo p1si a es residuo no-cuadratico modulo p

Sabemos que (1,p)=1 con p primo, así que podemos utilizar el Criterio de Euler que dice

ap12(ap)(modp)

Si p es un primo de la forma 4k+3 tal que p|n2+1, esto implica que -1 debe de ser residuo cuadrático módulo p, así que por la definición del símbolo de Legendre tenemos:

(1p)=1 ... (1)

pero utilizando el Criterio de Euler tenemos:

(1)p12=(1)4k+312=(1)2k+1=1(1p)(modp) ... (2)

Observando (1) y (2) llegamos a una contradicción. Esto quiere decir que -1 es residuo no-cuadrático bajo módulo p cuando p es un primo de la forma 4k+3, así que si p divide a n2+1 entonces tiene que ser de la forma 4k+1 (todos los primos impares se pueden escribir como 4k+1 ó 4k+3). Con esto termina la solución.

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Creo que el símbolo de

Creo que el símbolo de Legendre y el criterio de Euler son resultado posteriores al ejercicio de esta sección. Me parece que lo más sano es demostrarlo sin el uso de éstos conceptos.

Como sugerencia, usa sólo el pequeño teorema de Fermat.

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Este problema tiene como

Este problema tiene como consecuencia lo siguiente:

Consideremos un entero M, tal que, tiene un factor primo p3 (mód 4).  Entonces,  Mk1 no es un cuadrado perfecto.

La razón de esto es que, de existir n tal que n2=Mk1, se tendrá que M divide a n2+1, en consecuencia, p divide a n2+1. Y por el ejercicio, se deberá tener que p1 (mód 4), contradiciendo la hipótesis de que p satisfacía que p3 (mód 4).

Un caso particula de esta observación general es el problema No es un cuadrado perfecto, propuesto por Fernando el 15 de Mayo. En el se pide demostrar que 187y1 no es un cuadrado perfecto.

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Si, me fui muy al extremo.

Si, me fui muy al extremo. Hare otro intento usando la sugerencia que dice, lo acabo de pensar cuando fui a la tiendita.

Supongamos que un primo p divide a n2+1, entonces es facil ver que n y p son primos relativos. Luego, por el PTF tenemos:

np11(modp) ... (1)

ahora, por hipotesis, sabemos que

n21(modp)

lo cual implica que

n4m+21(modp) ... (2)

n4m1(modp) ... (3)

para algun entero m. Si (2) se cumple, entonces (1) no se cumple, y llegamos a una contradiccion. La unica posibilidad para que (1) se cumpla es que (3) se cumpla tambien (sin que (2) se cumpla), y para que (3) se cumpla tenemos que

p10(mod4)

p1(mod4)

que es lo que queriamos probar.

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Puse tu solución con algunas

Puse tu solución con algunas modificaciones que creo que la hacen más clara.

Saludos

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Sí, queda más claro como lo

Sí, queda más claro como lo puso, gracias! :D! Es un problema muy interesante.