Probar simediana

Sin perdida de generalidad $AB$ menor que $AC$ ya que en caso que se de la igualdad el resultado es claro. Sea $P$ el otro punto donde la circunferencia de diametro $DE$ intersecta a $AC$ ( Por que existe dicho punto?), ademas es claro que $P$ es punto medio de $AC$ (Por que?) . Es claro que $E$ es punto medio del arco $AC$ que no contiene a $B$. De ahi es obio que $EP$ pasa por $O$ con $O$ el circuncirculo del triangulo $ ABC $(Por que?). Sea $Q$ el punto diametralmente opuesto a $E$ respecto al Circuncirculo del triangulo $ ABC $. La figura quedara como se muestra en el enunciado. Como $\angle{EFD}=90°=\angle{EFQ}$ se tiene que $ F, D, Q $ son coolineales. Es claro que $\angle{EFQ}=90°=\angle{EBQ}$ entonce $ BFEQ $ es ciclico. Y que $\angle{QPD}=90°=\angle{QBD}$ entonces $ BDPQ $ es ciclico. de ahi se tiene que $\angle{FBE}=\angle{FQE}=\angle{DQP}=\angle{DBP}$ por lo que $DB$ es bisectriz del angulo $\angle{EBP}$ y con eso se garantiza el resultado...por que?