Avanzado

Sobre los lados del triángulo ABC se han dibujado los cuadrados $\mathcal{C}_A$, $\mathcal{C}_B$ y $\mathcal{C}_C$, de tal manera que un lado del cuadrado es un lado del triángulo y el cuadrado no traslapa al triángulo. El cuadrado $\mathcal{C}_A$ se encuentra sobre BC; $\mathcal{C}_B$ sobre AC; y $\mathcal{C}_C$ sobre AB.

En un triángulo acutángulo, el círculo de diámetro AB intersecta la altura CE y su extensión en M y N, y el círculo de diámetro AC intersecta la altura BD y su extensión en P y Q. Probar que los puntos M, N, P, Q están sobre una misma circunferencia.

(Nota:Este problema es una extensión del problema dos segmentos iguales.)

Sean P, Q y R los puntos donde la circunferencia inscrita del triángulo ABC toca a los lados BC, CA y AB respectivamente. Llamemos M al punto medio de BC.

Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos distintos sobre una recta, en ese orden. Los círculos de diámetros $AC$ y $BD$ se intersectan en los puntos $X$ y $Y$. La recta $XY$ corta a $BC$ en el punto $Z$. Sea $P$ un punto sobre la recta $XY$, y diferente de $Z$. La recta $CP$ intersecta al círculo de diámetro $AC$ en los puntos $C$ y $M$, y la recta $BP$ intersecta el círculo de diámetro $BD$ en los puntos $B$ y $N$. Demostrar que las rectas $AM$, $DN$ y $XY$ son concurrentes. 

Considera una circunferencia $\Gamma$, un punto A fuera de $\Gamma$ y las tangentes AB, AC a $\Gamma$ desde A, con B y C los puntos de tangencia. Sea P un punto sobre el segmento AB, distinto de A y de B. Considera el punto Q sobre el segmento AC tal que PQ es tangente a $\Gamma$, y a los puntos R y S que están sobre las rectas AB y AC, respectivamente, de manera que RS es paralela a PQ y tangente a $\Gamma$. Muestra que el producto de las áreas de los triángulos APQ y ARS no depende de la elección del punto P.

Muestra que el producto de las áreas de los triángulos APQ y ARS no depende de la elección del punto P.

Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $n$. Encuentra todos los números $n$ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.

Encuentra el número entero $n > 0$ más pequeño que satisface que 2000 divide a

Considere la sucesión $1, 9, 8, 3, 4, 3, \ldots$ en la cual $a_{n+4}$ es el dígito de la unidades de $a_n + a_{n+3},$ para $n$ entero positivo. Demuestre que $a_{1985}^2 +a_{1986}^2+ \ldots + a_{2000}^2$ es un múltiplo de $2$.