En sucesión modular busca el ciclo

 Para formar $a_{n+4}$ se suma el anterior $a_{n+3}$ y el $a_n$, y de esta suma sólo se toma el dígito de las unidades. Por otro lado, lo que se pide demostrar es que una suma de los cuadrados de $16$ términos consecutivos de la sucesión $a_n$ es par. Y esto se logra si y sólo si el número de términos impares en esa suma es par.

(Aclaremos que esto se dice fácil después de haber resuelto el problema –en un análisis post-solución–, pero en el momento de resolverlo, primero hay que generar unos 10 términos iniciales de la sucesión, observar su comportamiento –lo cual nada nos dice–, volver sobre la pregunta, concluir de ésta que el problema se reduce a considerar únicamente la paridad de los términos de a_n –ésta es quizá la conclusión más difícil de hacer en caliente–, etc.)

Ahora bien, una vez que se concluyó que sólo es necesario considerar la paridad de los términos, otra conclusión no inmediata que se sigue de la pregunta es que elevar al cuadrado no cambia la paridad del número. Algo obvio –pero no en el momento del examen…

Una vez que se aclaró de esta manera el problema lo que sigue es concluir que, si es que se va a resolver el problema sin enumerar los términos de la sucesión hasta el 1985, entonces la sucesión debe presentar un ciclo de paridad, es decir, los términos de la sucesión deben repertirse en términos de par-impar. Esta conclusión es lo que reduce el problema a algo muy fácil de resolver, pues los 16 términos del 1985 hasta el 2000, se pueden “jalar” a 16 términos del principio.

Después de generar muchos términos de la sucesión (unos 20 o 30) y con la mirada puesta en la aparición del ciclo de paridad, se llega –tarde o temprano– a que la sucesión tiene un ciclo de tamaño 15 en cuanto a paridad. Una vez descubierto el ciclo, hay que “jalar” los términos de la pregunta a los términos iniciales. Y si se ha comprendido lo que significa un ciclo, entonces debería ser claro que la paridad de los primeros 15 se repite en los siguientes 15, etc. Y como 1985=15(132)+5, entonces solamente hay que contar cuántos impares hay en los términos a_5, a_6,…, a_20.

Se concluye que son 8 impares en la suma planteada en la pregunta. Por lo tanto, la suma es par. Como se quería.