Un problema de igualdad de areas

Sean $ABCD$ un paralelogramo, $ E $ un punto sobre la recta $AB$, mas allá de $ B $, $ F $ un punto sobre la recta $AD$, mas allá de $ D $, y $ K $ el punto de intersección de las rectas $ED$ y $BF$. Demuestre que los cuadriláteros $ABKD$ y $CEKF$ tienen la misma área.

La clave para llegar a la solución es darse cuenta de que todas las áreas tienen que apoyarse en el área del paralelogramo –dado que es el único dato. Y una vez percatándose de esto, lo siguiente que hay que ver es que tienen que usarse las paralelas del paralelogramo, usando el hecho de que los triángulos con la misma base y el tercer vértice sobre una paralela a esa base tienen áreas iguales. Sea pues S el área del parelogramo.

Y ya con esa idea general hay que preguntarse ¿cómo ligo las dos áreas?

La respuesta no es obvia pero, si no viene a la mente rápido, lo mejor es usar triangulación (lo más fácil y eficaz).

Hasta aquí hemos elaborado una estrategia general de ataque. Lo que sigue es explorar las posibilidades de áreas iguales. (Como dijo el entrenador de NL, en este tipo de problemas lo que hay que hacer es ver qué es igual a qué y después tratar de acomodar.)

Empecemos la exploración notando que (DCE)=S/2=(BCTF), dado que E está en la prolongación de AB y F en la de AD. Por otro lado (y esto es algo que no es fácil de ver cuando no se tiene experiencia con este tipo de problemas) (ABK)+(DKC)=S/2=(ADK)+(BCK), dado que los triángulos tienen bases iguales y la suma de sus alturas es la altura del paralelogramo.

En este momento ya se ve algo de luz. Pues (ABK)+(ADK) es una de las áreas de interés, lo cual sugiere sumar las dos igualdades y seguir buscando qué es igual a qué hasta llegar a la igualdad. Pero hay una forma más fácil (aunque no tan fácil de ver, o más bien la ves o no la ves): si llamamos complementarios a dos triángulos cuyas área sumen S/2, podemos aplicar la misma idea que para ángulos. Con esta idea, AKD es complementario de BKC, pero BKC es complementario de CKF. Por tanto (AKD)=(CKF). De la misma manera AKB es complementario de CKD, pero éste es complementario de CKE. De aquí que (CKE)=(AKB). ¿No es maravilloso? (Estaba fácil, siempre y cuando se viera desde la perspectiva correcta…)