La solución de este problema es fácil si se piensa en términos de la búsqueda de una propiedad que permanezca invariante bajo la operación. La operación T consiste en sumar un entero a dos números adyacentes en la cuadrícula. Y aquí, “adyacentes” debería ser el signo (el indicio) para iniciar la búsqueda de una invariante.
Por ejemplo, la suma de todos los números. Pero ésta no sirve. Porque son los mismos números en las dos cuadrículas. (Y la sospecha obligada es que la transformación es imposible.) Con esta idea en mente, eventualmente debería llegarse a asociar este problema con los problemas de coloración de cuadrículas a la manera de tableros de ajedrez. Pues la operación modifica dos casillas adyacentes. Es decir, modifica siemrpe un número en casilla blanca y otro en negra.
De este hecho, también eventualmente, debería llegarse a que la invariante buscada es la diferencia D de la suma B de los números en casilla blanca menos la suma N de los números en casilla negra. Esta propiedad de las cuadrículas es invariante bajo la operación T, pues en cada aplicación de T esas sumas aumentan o disminuyen en la misma cantidad y por lo tanto la diferencia se mantiene constante.
Ya habiendo llegado a esta conclusión, lo demás es pan comido: la propiedad invariante del tablero inicial es D=25-20=5, mientras que la del tablero final es D'=22-23=-1. Por lo tanto no puede llegarse a la segunda cuadrícula mediante aplicaciones repetidas de T. (Dado que mediante aplicaciones repetidas de T a la cuadrícula inicial siempre se mantendrá la propiedad en su valor inicial de 5.)
Comentario final
Y ¿si no se te ocurre pensarlo en términos de invariantes? Bueno, hay otros métodos, pero lo realmente esencial es conjeturar que la transformación es imposible. Por ejemplo, si se ven los cambios en las casillas como la suma total de un número entero a la casilla inicial, entonces se puede plantear como un sistema de 9 ecuaciones –una ecuación por casilla– y 12 incógnitas –una incógnita por separador de dos casillas adyacentes. Y en ese sistema se debe buscar una inconsistencia, una contradicción.
