Problema de cíclicos

Solución larga

Por el lema de las alturas para cíclicos, el cuadrilátero BEFC es cíclico. De aquí que (por potencia de A respecto al círculo definido por este cuadrilátero) $AE\cdot AB=AF \cdot AC$. Vamos ahora a ligar cada lado de esta ecuación con AP y AM, respectivamente, para usar la sugerencia dada.

Los triángulos APC y AMB son rectángulos en P y M, respectivamente, y PF y ME son alturas respecto a sus hipotenusas. De aquí que (por semejanza) $ FA/AP=PA/AC$ y $EA/AM=MA/AB.$  Es decir, $ PA^2=FA\cdot AC=BA\cdot AE=MA^2.$  Y se ve que los segmentos AP y AM son iguales.

Finalmente, AB es mediatriz de MN y AC lo es de PQ. De aquí que $AN=AM=AP=AQ$  Por tanto, los puntos N,P,M,Q están en el círculo de centro A.

Solución corta

Para ligar los dos círculos consideremos la cuerda común AG. Esta cuerda es perpendicular a BC, y G está alineado con B y C, puesto que AB y AC son diámetros de sus respectivos círculos. Por tanto AG es altura y, en consecuencia, pasa por el ortocentro H. Ahora consideremos la potencia de H respecto a ambos círculos (notemos que la cuerda común es enlace): $HN\cdot HM=HA\cdot HG=HP\cdot HQ$. De aquí que H es la intersección de las cuerdas MN y PQ del círculo que pasa por $N,P,M,Q$. De ahí el resultado.