Dos segmentos iguales

Consideremos $G$ el otro punto de intersección de las dos cirunferencias. Como $\measuredangle AGB = 90^\circ$ y de manera análoga $\measuredangle BGC = 90 ^\circ$. De lo anterior se sigue que $A$, G y C están alineados.

Cabe hacer notar que $BG$ es altura del triángulo ABC. Es fácil notar que los segmentos AE y CF también son alturas, por lo tanto, las tres segmentos coinciden en el punto H, el ortocentro del triángulo ABC.

Ahora prestemos especial atención al triángulo ABQ.

Es un triángulo rectángulo en Q (Pues está abarcando un diámetro del círculo) y F es el pié de la altura trazada desde Q (Ya habíamos notado que F es el pié de la altura desde C sobre el lado AB). Bueno, para los que ya conozcan esta configuración verán evidente la siguiente igualdad

$$BF \cdot BA = BQ^2$$

 Ahora bien, de manera analoga se puede observar que el triángulo BPC es rectángulo en P y el pié de la altura desde P es E.

En consecuencia, se tiene la siguiente igualdad:

$$BE \cdot BC = BP^2$$

Por último, como $\measuredangle AEC = \measuredangle CFA = 90^\circ$ se sigue que el cuadrilátero AFEC es cíclico. Entonces usando la potencia de P respecto a la circunferencia que circunscribe a AFEC se tiene la siguiente igualdad:

$$BF \cdot BA = BE \cdot BC$$

Con esta última igualdad, más las otras dos ya obsevadas se sigue lo que se quería demostrar.