Númeremos a cada persona con un número del 1 al 8. El problema es equivalente a encontrar acomodos del 1 al 8 en un arreglo como el siguiente:
a b c d
e f g h
con $a<b<c<d$ ; $e<f<g<h$ y $a>e$ $b>f$ $c>g$ $d>h$. Lo primero que debemos notar es que $e=1$ y $d=8$. Lo segundo es $f<g<h$ y $f<b<c<d$ es decir a $f$ le ganan al menos 5 personas. Por lo que $f=2,3$. De manera análoga $c=6,7$. Haremos cuatro casos sobre el valor de estos.
$f=2 y c=7$. El acomodo se ve así:
a b 7 8
1 2 g h
Notemos que $a,b,g,h$ pueden tomar los valores que sea de entre 3,4,5 y 6. Así que en este caso hay $4 \choose 2 $=6 maneras. Por ejemplo si esogemos los números 4 y 6. Entonces a=4 b=6 g=3 y h=5.
Caso 2: f=2 y c=6. El acomodo se ve así
a b 6 8
1 2 g h
El 7 no puede ir en la parte de arriba por lo que $h=7$ pues en la parte de abajo están en orden ascendente. Ahora sí g puede tomar cualquiera de los tres valores restantes y a,b se acomodan solos y cumplen los requerimentos. Aquí hay tres posibilidades.
Caso 3: $f=3 y c=7$. Este caso es análogo al anterior por lo que también hay tres maneras.
Caso 4: $f=3 y c=6$. El acomodo se ve así
a b 6 8
1 3 g h
De esta manera $a=2 y h=7$. Y $b$ tendría dos posibilidades y $g$ quedaría determinado. Por lo que aquí hay 2 posibilidades.
En conclusión hay 14 maneras.
