P4. Razones de semejanza estatales

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 13:21.

Sea

$ABC$ un triángulo rectángulo con

$\angle ABC=90$ . Sea

$U$ un punto cualquiera sobre

$AC$ . Sean

$D$ y

$E$ puntos sobre

$AB$ y

$BC$ de tal forma que

$\angle EUD=90$ . Se traza un segmento perpendicular a

$AC$ desde

$D$ y el punto de intersección se llama

$F$ . Asímismo, se traza un segmento perpendicular a

$AC$ desde

$E$ , y el punto de intersección es

$G$ . Demuestra que:

$\frac{AF}{FU}=\frac{GU}{CG}$

Sugerencia:

Encuentra dos pares de triángulos semejantes y construye sus razones de semejanza. Después iguala y concluye.

Solución:

Sea

$\alpha=\angle BAC$ , entonces

$\angle ACB=90-\alpha$ , y también

$\angle FDA=90-\alpha$ y

$\angle GEC=\alpha$ . Entonces por

$AA, \ \triangle AFD \sim \triangle EGC \Rightarrow \frac{AF}{EG}=\frac{DF}{CG} \iff AF \cdot CG=DF \cdot EG$

Ahora, sea

$\beta=\angle FDU \Rightarrow \angle FUD=90-\beta \Rightarrow \angle EUG=\beta \Rightarrow \angle UEG=90-\beta$ . Por

$AA$ ,

$\triangle FDU \sim \triangle GUE \rightarrow \frac{DF}{GU}=\frac{FU}{EG} \iff DF \cdot EG = FU \cdot GU$

Con esto ya terminamos.

$AF\cdot CG=DF\cdot EG=FU\cdot GU \iff \frac{AF}{FU}=\frac{GU}{CG}$