Esperanza matemática de la función indicadora

Puesto que la función indicadora $I_A$ de un evento A asociado a un espacio muestral S es una variable aleatoria, entonces es posible calcular su esperanza matemática.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_k$ los elementos de A y $p_1,p_2,\ldots$ sus correspondientes probabilidades. Entonces, la función indicadora de A va a tomar el valor 1 en cada uno de esos elementos, y el valor cero en los restantes. Por esta razón, para propósitos de calcular la esperanza matemática de $I_A$, basta considerar los elementos de A (pues los restantes términos se anulan). De aquí que

$E(I_A)=I_A(a_1)p_1+I_A(a_2)p_2+\ldots=p_1+p_2+\ldots=P(A)$

Es decir, la esperanza matemática de la función indicadora de un evento A es igual a la probabilidad de A. (Sorprendente ¿no es cierto? En este sentido se puede decir que la esperanza matemática es un concepto que incluye al de probabilidad de un evento.)