Libre de cuadrados

Un entero positivo se dice que está libre de cuadrados si ningún cuadrado perfecto lo divide. Formalmente, $n$ está libre de cuadrados si no existe $m$ tal que $m^2$ divide a $n$.

Estudiando su factorización única en primos, se puede ver que los números libres de cuadrados no admiten dos veces al mismo factor primo. Esto es, si $p$ es un primo que divide a un entero $n$ (libre de cuadrados) entonces $p^2$ no puede dividir  $n$. Por ende, tampoco ninguna otra potencia de $p$. En resumen, si $p$ divide a $n$ entonces $p^{\alpha}$ no divide a $n$ para ningún valor de $\alpha \geq 2$

De esta observación se sigue que la factorización de un entero libre de cuadrados debe ser un producto de primos distintos (sin repetir primos). Se tiene entonces la siguiente carecterización de los enteros libres de cuadrados:

$n$ está libre de cuadrados si y sólo si $n = p_1p_2\cdots p_k$  con $p_1, p_2, \dots , p_k$ primos distintos.

Ejemplos:

• 2000 no está libre de cuadrados puesto que $4=2^2$ lo divide.
• 2009 no está libre de cuadrados pues que $7^2$ lo divide.
• 210 sí está libre de cuadrados pues su descomposición en primos es $2 \times 3 \times 5 \times 7$, que es un producto de primos distintos.