Número de divisores

El número de divisores positivos de $n$, denotado con $d(n)$ o $\tau(n)$), es una función que asigna el número $\tau(n)=(x+1)(y+1)(z+1)\ldots$ al número $n$ cuya descomposición canónica es $n=p^xq^yr^z\ldots$.

Ejemplo: El número $12=2^2\cdot3$ tiene $(2+1)(1+1)=6$ divisores positivos y son $1,2,3,4,6,12.$

Considerando este resultado desde un punto de vista abstracto, los divisores de $n=p^xq^yr^z\ldots$ son los términos de la expansión

$$(1+p+p^2+\ldots+p^x)(1+q+q^2\ldots+q^y)(1+r+r^2+\ldots+r^z)\ldots$$ .

Así que, aplicando el principio multiplicativo de la combinatoria, el número de divisores de $n$ es el número de términos de la expansión. (Cada divisor se calcula eligiendo un término de cada paréntesis y multiplicando. Y las formas de hacerlo son $(x+1)(y+1)(z+1)\ldots$).

Para el novicio puede ser conveniente verlo en ejemplos. Por ejemplo, si $n=12=2^2\cdot3$ sus divisores se calculan expandiendo el producto $(1+2+2^2)(1+3)$.