Una relación "$\leq$" en un conjunto $S$ es un orden parcial si satisface que:
- Reflexividad: $a \leq a$ para todo $a \in S$
- Antisimetría: Si $a \leq b$ and $b \leq a$ implica que $a=b$.
- Trasitividad: Si $a \leq b$ and $b \leq c$ implica $a \leq c$
Observaciones
Dado un orden parcial en un conjunto $S$ se define $a < b$ como usualmente, esto es, $$a < b \qquad \Leftrightarrow \qquad a \neq b \quad \textrm{ y } \quad a \leq b$$
Cuando un orden paracial satisface la relación de comparitividad o tricotomía se le llama orden total.
Comparatividad: para todo $a, b \in S$ se tiene que $a \leq b$ o bien $ b \leq a$.
Algunos ordenes parciales comunes.
Ejemplo 1. En el plano cartesianos $\mathbb{R}^2$, podemos dar un orde parcial, decimos que $(a_0,b_0) \leq (a_1,b_1)$ si $a_0 \leq a_1$ y $b_0 \leq b_1$.
En este ejemplo, las parejas de reales (1,2) y (2,1) no son comparables, no podemos decir quién es mayor a quién.
Ejemplo 2. Si queremos que este orden en $\mathbb{R}^2$ sea total (ver orden total), podríamos usar el orden lexicográfico. Esto es, $(a_0,b_0) \leq (a_1,b_1)$ si y sólo si $a_0 \leq a_1$ o bien $a_0 = a_1$ y $b_0 \leq b_1$.
En esta otra forma de ordenas los número reales, $(1,2)$ sería menor a $(2,1)$.