Orden parcial

Una relación "$\leq$" en un conjunto $S$ es un orden parcial si satisface que:

1. Reflexividad: $a \leq a$ para todo $a \in S$
    
2. Antisimetría:  Si $a \leq b$ and $b \leq a$ implica que $a=b$.
    
3. Trasitividad: Si $a \leq b$ and $b \leq c$ implica $a \leq c$

Observaciones

Dado un orden parcial en un conjunto $S$ se define $a < b$ como usualmente, esto es, $$a < b \qquad  \Leftrightarrow \qquad a \neq b \quad \textrm{ y } \quad a \leq b$$

Cuando un orden paracial satisface la relación de comparitividad o tricotomía se le llama orden total.

Comparatividad: para todo $a, b \in S$  se tiene que $a \leq b$ o bien $b \leq a$.

Algunos ordenes parciales comunes.

Ejemplo 1. En el plano cartesianos $\mathbb{R}^2$, podemos dar un orde parcial, decimos  que $(a_0,b_0) \leq (a_1,b_1)$ si $a_0 \leq a_1$ y $b_0 \leq b_1$.

En este ejemplo, las parejas de reales (1,2) y (2,1) no son comparables, no podemos decir quién es mayor a quién.

Ejemplo 2. Si queremos que este orden en $\mathbb{R}^2$ sea total (ver orden total), podríamos usar el orden lexicográfico. Esto es, $(a_0,b_0) \leq (a_1,b_1)$ si y sólo si $a_0 \leq a_1$ o bien $a_0 = a_1$ y  $b_0 \leq b_1$.

En esta otra forma de ordenas los número reales, $(1,2)$ sería menor a $(2,1)$.