Condición necesaria y suficiente para triángulo

La condición necesaria y suficiente para que los números $a,b,c$ sean los lados de un triángulo, es que cumplan la desigualdad del triángulo. Por tanto, $a,b,c$ son los lados de un triángulo si y sólo si
$a+b>c$ o $a+b-c>0$
$b+c>a$ o $b+c-a>0$
$c+a>b$ o $c+a-b>0$

Si sumamos por pares los números
$a+b-c>0$
$b+c-a>0$
$c+a-b>0$

se obtiene

$2b$
$2c$
$2a$

Esto sugiere el cambio de variable
$2y=a+b-c$
$2z=b+c-a$
$2x=c+a-b$

Y $x,y,z$ cumplen obviamente la condición. Por tanto, la condición es necesaria.
Por otro lado, si tales números positivos $x,y,z$ existen, revirtiendo el argumento se llega a que la desigualdad del triángulo se cumple para $a,b,c$. Luego, la condición es suficiente.