Sea $ABCD$ un cuadrilátero que cumple con la hipótesis. Es decir, tal que $$AB+CD=BC+DA$$
Si $ABCD$ es rombo, ya acabamos (pues las bisectrices son las diagonales). De otra manera, nuestro cuadrilátero tiene dos lados contiguos desiguales, digamos $AB>BC$.
Entonces, por hipótesis, $CD<DA$.
Tomando sobre $AB$ un punto $E$ tal que $BE=BC$, se logra el isósceles $BCE$. Tomando sobre $DA$ un punto $F$ tal que $DF=CD$, se logra el isósceles $CDF$. Vamos a demostrar que el triángulo $AEF$ es también isósceles.
Trasponiendo términos en la hipótesis se tiene la igualdad $$AB-BC=DA-CD$$
Pero $AB-BC=AE$ y $AD-CD=AF$. Y se ve que el triángulo $AEF$ es isósceles.
Tenemos ahora tres isósceles y, como sabemos, sus bisectrices en los vértices ($B,D,A$) son también mediatrices de sus respectivas bases ($CE,CF,EF$).
Pero, $CEF$ es un triángulo. Luego, sus mediatrices concurren. Es decir, tres bisectrices de nuestro cuadilátero concurren en un mismo punto $O$.
Ahora bien, $O$ equidista de $AB$ y $AD$ (por estar en la bisectriz de $A$). También equidista de $AD$ y $CD$ (por estar en la bisectriz de $D$). Finalmente, $O$ equidista de $AB$ y $BC$ (por estar en la bisectriz de $B$). Luego, equidista de todos los cuatro lados del cuadrilátero $ABCD$.
Se concluye que se puede inscribir en él una circunferencia (con centro en $O$ y radio la distancia de $O$ a cualquiera de sus lados).
