Sea ABCD un cuadrilátero que cumple con la hipótesis. Es decir, tal que AB+CD=BC+DA
Si ABCD es rombo, ya acabamos (pues las bisectrices son las diagonales). De otra manera, nuestro cuadrilátero tiene dos lados contiguos desiguales, digamos AB>BC.
Entonces, por hipótesis, CD<DA.
Tomando sobre AB un punto E tal que BE=BC, se logra el isósceles BCE. Tomando sobre DA un punto F tal que DF=CD, se logra el isósceles CDF. Vamos a demostrar que el triángulo AEF es también isósceles.
Trasponiendo términos en la hipótesis se tiene la igualdad
AB−BC=DA−CD
Pero AB−BC=AE y AD−CD=AF. Y se ve que el triángulo AEF es isósceles.
Tenemos ahora tres isósceles y, como sabemos, sus bisectrices en los vértices (B,D,A) son también mediatrices de sus respectivas bases (CE,CF,EF).
Pero, CEF es un triángulo. Luego, sus mediatrices concurren. Es decir, tres bisectrices de nuestro cuadilátero concurren en un mismo punto O.
Ahora bien, O equidista de AB y AD (por estar en la bisectriz de A). También equidista de AD y CD (por estar en la bisectriz de D). Finalmente, O equidista de AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego, equidista de todos los cuatro lados del cuadrilátero ABCD.
Se concluye que se puede inscribir en él una circunferencia (con centro en O y radio la distancia de O a cualquiera de sus lados).
