Desigualdad de Bernoulli

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Sean n un entero no negativo y h un número mayor que -1. Entonces (1+h)n1+nh

Demostración(es)
Demostración: 

Notemos que para n=0 la desigualdad se cumple. Notemos también que si h es positivo, entonces 1+nh son los primeros dos términos de la expansión del binomio y el resto de términos son positivos, por lo que también se cumple la desigualdad para este caso. Para demostrarla en los restantes casos usaremos inducción:

Caso base: Si n=0 entonces (1+h)0=1=1+0.

Hipótesis de inducción: la desigualdad es cierta para n

Paso inductivo:

Multiplicando por 1+h en ambos lados de (1+h)n1+nh se tiene

(1+h)n+1(1+nh)(1+h)=1+(n+1)h+nh2


Y la desigualdad se hace evidente para n+1 --pues nh2 es un número positivo.


Nota: al multiplicar por 1+h el sentido de la desigualdad se mantiene porque 1+h es positivo.