Desigualdad de Cauchy-Schwarz (números reales)

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Para cualquier par de n-adas (x1,x2,,xn) y (y1,y2,,yn) de números reales, se satisface la siguiente desigualdad: (x21++x2n)(y21++y2n)(x1y1++xnyn)2

La igualdad se da si y sólo si existe un número real r tal que: xi=ryi para i=1,,n.

Demostración(es)
Demostración: 

Consideremos el polinomio p(z)=(x1z+y1)2+(x2z+y2)2++(xnx+yn)2

Es un polinomio cuadrático en z (p(z)=Az2+Bz+C) que es positivo o cero para cualquier valor de z. Por lo tanto, su gráfica es una parábola que es tangente o no intersecta al eje X, esto es, no puede tener dos soluciones reales. En términos de su discriminante, éste debe ser menor o igual cero: B24AC0.

Al calcular los coeficientes de A, B y C del polinomio p(z) obtenemos:

A=x21+x22++xnnB=x1y1+x2y2++xnynC=y21+y22++x2n

De donde se concluye la desigualdad.

La igualdad se da si y sólo si el descriminante B24AC=0  si u sólo si la ecuación p(z)=0 tiene solución, ie, existe s tal que: (x1s+y1)2+(x2s+y2)2++(xns+yn)2=0

Que es equivalente a que cada sumando es cero y ésto último equivalente a lo enunciado en el teorema.