Consideremos el polinomio $$p(z) = (x_1z+y_1)^2+(x_2z+y_2)^2 + \cdots + (x_nx+y_n)^2$$
Es un polinomio cuadrático en $z$ ($p(z) = Az^2 + Bz + C$) que es positivo o cero para cualquier valor de $z$. Por lo tanto, su gráfica es una parábola que es tangente o no intersecta al eje X, esto es, no puede tener dos soluciones reales. En términos de su discriminante, éste debe ser menor o igual cero: $B^2-4AC \leq 0$.
Al calcular los coeficientes de $A$, $B$ y $C$ del polinomio $p(z)$ obtenemos:
\begin{align}
A&= x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^n\\
B&= x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n\\
C&= y_1^2+y_2^2+ \cdots + x_n^2
\end{align}
De donde se concluye la desigualdad.
La igualdad se da si y sólo si el descriminante $B^2-4AC=0$ si u sólo si la ecuación $p(z)=0$ tiene solución, ie, existe $s$ tal que: $$(x_1s+y_1)^2+(x_2s+y_2)^2 + \cdots + (x_ns+y_n)^2=0$$
Que es equivalente a que cada sumando es cero y ésto último equivalente a lo enunciado en el teorema.
