Desigualdad útil (lema de Titu)

Dados $a_1, a_2, \dots, a_n$ números reales y $x_1, x_2, \dots, x_n$ reales positivos, se tiene la siguiente desigualdad:

$$\frac{a_1^2}{x_1} + \frac{a_2^2}{x_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{x_n} \geq \frac{(a_1+a_2+\cdots + a_n)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n}$$

La igualdad se da únicamente cuando existe un número $\lambda$ tal que $a_i = \lambda x_i$ para todo $i= 1, 2, \dots, n$.