Pequeño teorema de Fermat

Enviado por jesus el 17 de Mayo de 2009 - 11:41.

Todo número $a$ no divisible por un primo $p$ deja residuo 1 al elevarse a la potencia $p-1$ y dividirse entre $p$ . En términos de congruencias, esto se escribe así:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod {p}$

Otra forma de presentar este teorema es multiplicando por $a$ :

$a^p \equiv a \pmod {p}$

En esta otra forma se puede omitir la condición de que $a$ no es divisible entre $p$ , puesto que, cuando $p$ divide a $a$ , ambos lados de la identidad anterior son cero.

Demostración(es)

Demostración:

Consideremos los números $a, 2a, 3a, \dots , (p-1)a$ . Cada uno de éstos número tiene distinto residuo al dividir entre $p$ . Ya que, si $ia \equiv ja \pmod{p}$ y como $p$ y $a$ son primos relaivos (pues $p$ no divide a $a$ ) se tendrá que $i \equiv j \pmod{p}$ .

Ahora, como $i$ e $j$ son residuos de $p$ y son congruentes, deberá de ser que $i = j$ .

Como todos los números $a, 2a, 3a, \dots , (p-1)a$ tienen distinto residuo y ninguo de ellos tiene residuo cero, entonces, cada uno de esos número será congruente con uno y sólo uno de los residuos $1, 2, 3, \dots, {p-1}$ .

Por ello, se puede escribir la congruencia:

$a \cdot 2a \cdot 3a \cdots (p-1) \equiv 1\cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1) \pmod{p}$

entonces,

$[(p-1)!]a^{p-1} \equiv (p-1)! \pmod{p}$

Como $(p-1)!$ es primos relativo con $p$ se puede cancelar $(p-1)!$ en ambos lados de la congruencia. Y como consecuencia se tendrá que:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

Inicie sesión o regístrese para enviar comentarios