En esta clase volvimos a repetir el principio de inducción matemática y pusimos especial atención en el segundo principio:
Si un conjunto $S$ de enteros positivos es tal que:
- 1 está en $S$
- Si $1, 2, \ldots, k$ están en $S$ entonces $k+1 \in S$
Entonces, $S$ es el conjunto de enteros positivos.
El ejemplo en el que prestamos más atención fue al siguientes ejercicio:
Consideremos la sucesión $a_n$ descrita por:
- $a_1=1$
- $a_2=3$
- $a_{n+1} = a_n+a_{n-1}$
Demostrar que $a_n < (7/4)^n$
En la parte en que más nos entretuvimos fue en la pregunta:
¿Es necesario demostrar por aparte el caso $n=2$?
Pues ya habíamos probado el caso $n=1$ y habíamos aparentemente completado el paso inductivo, es decir, en la hipótesis de inducción usamos que la proposición era cierta para $k$ y $k-1$ y demostramos que tenía que ser cierta para $k+1$. En otras palabras, estábamos usando un principio de inducción como el que sigue:
(INCORRECTO)Si un conjunto $S$ de enteros positivos es tal que:
- 1 está en $S$
- Si $k-1$ y $k$ están en $S$ entonces $k+1 \in S$
Entonces, $S$ es el conjunto de enteros positivos.
Vimos que esto es incorrecto, que falta demostrar que 2 está en $S$.
(CORRECTO) Si un conjunto $S$ de enteros positivos es tal que:
- 1 y 2 están en $S$
- Si $k-1$ y $k$ están en $S$ entonces $k+1 \in S$
Entonces, $S$ es el conjunto de enteros positivos.
Esta forma de redactar la inducción vista en clase es exclusiva de este post, no lo hicimos en el aula. Espero que esta nueva forma de redactar les sirva.
Por último, vimos como usar la inducción incorrecta para demostrar que todos los caballos son del mismo color.