Un poco tarde pero aquí están los problemas de la Olimpíada Nacional para Alumnos de Secundaria en su novena edición. (Felicidades a Claudia Lorena y Bernardo por su plata --segundo y tercer nivel respectivamente-- ambos miembros de la preselección Tamaulipas 2009 de la OMM.)
Problemas para primero de secundaria (nivel 1)
1. En el Messenger (MSN), para que dos personas estén en contacto, es suficiente con que una de ellas envíe una invitacíon a la otra y ésta la acepte. Luis tiene 114 amigos de la ONMAS 2009, y ninguno de ellos se tiene agregado al Messenger entre sí. Luis les propone a ellos la idea de ponerse en contacto. ¿Cuál es el número mínimo de invitaciones aceptadas para que Luis y todos sus amigos estén en contacto por el MSN?
2. En el rectángulo ABCD, los puntos P, Q, R, S, uno en cada lado, dividen el lado donde están en razón 3:2. ¿Cuál es el cociente del área del paralelogramo PQRS entre el área de la región del rectángulo que queda afuera del paralelogramo? (N del E: en el examen se dio la figura.)
3. ¿Cuántas ternas de dos dígitos $(x,y,z)$ es posible formar, de modo que la suma $x^2+y^2+z^2$ sea un múltiplo de 5? (Nota: las ternas $(0,1,3), (1,0,3)$ son diferentes.)
4. La avenida principal de Salsipuedes, con circulación de izquierda a derecha, tiene instalados 20 semáforos, colocados cada uno a 100 metros de distancia. Los semáforos están programados para que trabajen de la siguiente manera: en cada momento hay 5 semáforos consecutivos con luz verde, y cada 10 segundos el primer semáforo prendido en verde, contando de izquierda a derecha, cambia a rojo y el semáforo rojo que está adelante del 5º semáforo en verde, cambia de rojo a verde. ¿Cuál es el tiempo mínimo en el cuál se cruza al vigésimo semáforo, empezando el recorrido en el primer semáforo? ¿A qué velocidad constante se debe transitar para lograrlo en el tiempo mínimo? (N del E: en el examen se ilustró con una figura.)
5. Sea ABC un triángulo tal que la circunferencia S de diámetro BC pasa por el punto medio M de AB. Sea N un punto sobre S de manera que MN es diámetro de S. Probar que el área del triángulo ABC entre el área del triángulo MNC es 2.
6. ¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 números diferentes del conjunto $C=\{1,2,3,...,19,20\}$ de manera que la suma de esos tres números sea múltiplo de 3?
Problemas para segundo de secundaria (nivel 2)
1. Igual que el 2 del nivel 1.
2. Igual que el 3 del nivel 1.
3. En un tablero de 2009 x 2009 cuadritos, se han llenado todos los cuadritos usando solamente 1 o -1, y se ha obtenido el producto de los números de cada fila y de cada columna. Encontrar todas las posibles sumas de estos 4018 productos.
Ejemplo: en un tablero de 3x3 un posible llenado es:
1 1 1
1 1 -1
1 1 1
y la suma de los 6 productos 1 + 1 -1 +1 -1 +1 = 2
4. Igual al 5 del nivel 1.
5. Igual al 6 del nivel 1.
6. Encontrar todos los números de 3 dígitos de la forma $abc$ ($a$ es el dígito de las centenas, $b$ es el dígito de las decenas y $c$ es el dígito de las unidades) que cumplan con: $abc = a!+b!+c!.$ (Nota: n! es el producto n(n-1)...(2)(1) y se lee n factorial.)
Problemas para tercero de secundaria (nivel 3)
1. Igual que el 3 del nivel 1.
2. Igual al 3 del nivel 2.
3. Considere las circunferencias $a$ y $b$ de centros A y B respectivamente. Desde el centro A se trazan las tangentes a $b$ y éstas cortan a A en los puntos P y Q; y desde el centro B se trazan las tangentes a $a$ que cortan a B en R y S. Demostrar que PQRS es un rectángulo.
4. Igual al problema 6 del nivel 1.
5. Igual al problema 6 del nivel 2.
6. Sean ABC un triángulo rectángulo y M el punto medio de la hipotenusa BC. Sus catetos cumplen que CA es menor que AB. Se coloca un punto D sobre AB de manera que CA = AD. Finalmente, sea E el punto común de AM y CD. Si F es un punto sobre BC tal que EF es paralela a BC, demostrar que AM es perpendicular a FD.
(Versión electrónica capturada por jmp, y editada por jmd.)
Los saluda
jmd