Selección Tamaulipas 2015 y un examen muy difícil.

El domingo 18 los preseleccionados presentaron la segunda parte del selectivo final, enseguida se muestran los resultados. MaTeTaM felicita a sus integrantes: 

Roberto Alain Rivera Bravo
Jesús Roberto Llanos Hernández
Jesús Francisco Anaya González
Ingrid Amaya Chávez
Julieta Monserrat Meléndez Calvo
Germán David Contreras Sarreón

El examen que presentaron es el siguiente: 

Problema 4. Se colocan $N$ monedas en puntos enteros de una recta numérica. Un movimiento consiste en elegir dos de ellas y a la primera moneda moverla una unidad a la derecha y a la segunda moverla una unidad a la izquierda. ¿En qué lugares deberian estar las monedas al principio para que sea posible mover todas las monedas a un solo punto?.

Problema 5. Sea $ABCD$ un paralelogramo con ángulo obtuso en $A$. $E$ y $F$ son puntos tales que $AFB$ y $CEB$ son triángulos equiláteros hacia adentro del paralelogramo. La recta $DF$ intersecta a $CB$ en $G$ y la recta $DE$ intersecta a $AB$ en $H$. Mostrar que $GH$ es paralela a $FE$.

Problema 6. Sea $n$ un entero positivo mayor que 1. Los divisores positivos de $n$ se ordenan $ 1 = d_1  < d_2 < \cdots < d_k = n$. Mostrar que $$ n^2 > d_1^2 + d_2^2 + \cdots + d_{k-1}^2 + n $$.

Las soluciones y comentarios se dejan a cargo de los lectores.

Finalmente, extiendo de nuevo una felicitación para los seleccionados, confiamos en que están conscientes del significado de representar a Tamaulipas en el concurso nacional. Y que trabajarán muy fuerte para conseguir buenos resultados.

-Germán.

Ahí, va mi solución al

Enviado por Weldersay el 9 de Mayo de 2016 - 19:39.

Ahí, va mi solución al problema 6.

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Notemos que si $d_i$ es un

Enviado por Weldersay el 9 de Mayo de 2016 - 19:33.

Notemos que si $d_i$ es un divisor de $n$ entonces existe un $d_j$ que tambien es divisor de $n$ tal que $d_j=\frac{n}{d_i}$ Además de que los $d_j$ estan en orden inverso a los $d_i$ con esto el problema es equivalente a.

$n^2> n^2(\frac{1}{(d_k)^2}+\frac{1}{(d_{k-1})^2}+.......+\frac{1}{(d_2)^2})+\frac{n^2}{d_k}$

 

entonces, es suficiente probar que

$1> (\frac{1}{(d_k)^2}+\frac{1}{(d_{k-1})^2}+.......+\frac{1}{(d_2)^2})+\frac{1}{d_k}$

 

Ahora notemos que $d_i\geq i$ para todo $i\in{\{ 1,2,...,k \}}$ con esto tendremos que

$\frac{1}{(d_k)^2}+\frac{1}{(d_{k-1})^2}+.......+\frac{1}{(d_2)^2}+\frac{1}{d_k}\leq \frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k-1)^2}+.......+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{k}$

con lo que sera suficiente probar que

$\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k-1)^2}+.......+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{k}<1$

 

Para esto usaremos inducción.

Si $k=2$ entonces $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}<1$

 

Ahora suponemos cierta para $k=n$ entonces $\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n-1)^2}+.......+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{n}<1$

 

probaremos que $\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{n^2}+.......+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{n+1}<1$ para esto,

 

Notemos que $(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n-1)^2}+.......+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{n})-(\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{n^2}+.......+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{n+1})>0$

 

lo que se reduce a $\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n+1}>0$

 

lo que es equivalente a ver que $\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}$  lo cual es obvio ya que $n\geq 2$  y esto termina la prueba.

 

Finalmente pude compartirla......

 

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Excelente demostración, muy

Enviado por jesus el 11 de Mayo de 2016 - 09:21.

Excelente demostración, muy bien lograda. Y tu redacción como siempre muy clara.

No tengo mucho que decir, sólo te sugiero que para poner los puntos suspensivos dentro de las fórmulas utilices:
\cdots
Por ejemplo,
$a_1 +  a_2 + \cdots + a_n$
Se vería así: $a_1 +  a_2 + \cdots + a_n$

Saludos

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Hola Jesús,  Gracias por la [1]

Enviado por Weldersay el 13 de Mayo de 2016 - 17:05.

Hola Jesús, 

Gracias por la sugerencia, podrias darme una idea o  algún punto de partida para este problema de la Ibero. 

 http://www.matetam.com/problemas/trigonometr/desigualdad-trigonom-trica#comment-3010

Saludos.

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