1.- Un problema Clásico de Factorización en Teoría de números

Veamos.

Si $p$ es impar y $k$ es impar, $p^k-k^p$ es par pero $9k$ es impar.

Si $p$ es impar y $k$ es par, $p^k-k^p$ es impar pero $9k$ es par

$\therefore p=2$

Entonces tenemos que $2^k-k^2=9k \Leftrightarrow 2^k=9k+k^2 \Leftrightarrow 2^k=k(k+9)$ 

Nota que $k$ tiene que ser par porque si no $2^k-k^2$ es impar y $9k$ seria par. También nota que el lado izquierdo crece más rápido que el derecho (ya que tenemos exponencial vs producto). Para $n>6, 2^k>k(k+9)$. 

Si k=6, 64=90

Si k=4, 16=52

Si k=2, 4=22.

$\therefore$ No hay soluciones.