2.- Ecuación de ternas en progresión Geométrica

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:47.

Determina todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ con $0<a<b<c$ en progresión geométrica para las cuales se cumplen las siguientes dos ecuaciones:

$$a+b+c=35$$

$$a^2+b^2+c^2=525$$

Sugerencia

Sugerencia:

Si tienen una razón $r$ tal que $b=ar$ y $c=br$, ¿cuánto vale c en términos de $a$?

Después de sustituir, usa divisibilidad porque $a$ es entero y checa todos los casos.

Solución

Solución:

Sea $r$ la razón de la progresión geométrica. Entonces, digamos que $a=a$, $b=ar$ y $c=ar^2$. Como $a<b<c$, $r>1$. Ahora, observe que $a+ar+ar^2=35 \iff a(r^2+r+1)=35$. Como $a \in \ \mathbb{N}$, entonces $a=1, 5, 7, 35$.

Caso 1. $a=1$

Entonces nos queda que $r^2+r-34=0$, entonces usando chicharronera $$r=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-(4)(1)(-34)}}{2(1)} \iff r=\frac{-1\pm \sqrt{137}}{2}$$ Pero esto haria que $b$ no sea natural

Caso 2. $a=5$, entonces $r^2+r+1=7 \iff r^2+r-6=0 \iff (r-2)(r+3)=0$, y como $r>1$, $r=2$. Esto nos da la terna $(5, 10, 20)$. Confirmando en la segunda ecuación: $$25+100+400=525$$

Caso 3. $a=7$. Entonces $r^2+r+1=5 \iff r^2+r-4=0$. Usando chicharronera se llega a que $r=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$, lo cual haria que $b$ no sea natural

Caso 4. $a=35$. Entonces $r^2+r+1=1 \iff r^2+r=0 \iff r(r+1)=0$, pero $r>1.$

La única terna que cumple es la $(5,10,20)$