Álgebra del Primer Selectivo 2016

Enviado por Orlandocho el 28 de Agosto de 2016 - 13:49.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $m$ y $n$ tales que $$(m^2+n)(m+n^2)=(m+n)^3.$$

Sugerencia

Sugerencia:

Después de algún desarrollo algebraico, usa algún truco que te permita factorizar.

Solución

Solución:

Por un lado tenemos que $(m^2+n)(m+n^2)=m^3+m^2n^2+mn+n^3$ y por otro lado sabemos que $(m+n)^3=m^3+3m^2n+3mn^2+n^3$, así que necesitamos encontrar las parejas de enteros positivos que cumplen que $$m^3+m^2n^2+mn+n^3=m^3+3m^2n+3mn^2+n^3,$$

o bien, $m^2n^2+mn=3m^2n+3mn^2$, ya que podemos restar $m^3+n^3$ de ambos lados de la igualdad.

Factorizando obtenemos que $mn(mn+1)=mn(3m+3n)$. Como $m$ y $n$ son enteros positivos, $mn \neq 0$, por lo que podemos deducir que $mn-3m-3n+1=0$. Sumando 8 de ambos lados llegamos a la ecuación $mn-3m-3n+9=8$. La parte izquierda de la ecuación la podemos factorizar y obtener que $(m-3)(n-3)=8$. Tanto $m-3$ como $n-3$ son enteros, entonces las opciones que tenemos es que sean 1, 2, 4 y 8.

Si $m-3=1$, $n-3=8$, entonces $m=4$ y $n=11$.
Si $m-3=2$, $n-3=4$, entonces $m=5$ y $n=7$.
Si $m-3=4$, $n-3=2$, entonces $m=7$ y $n=5$.
Si $m-3=8$, $n-3=1$, entonces $m=11$ y $n=4$.

Y estas son las 4 soluciones.