División de polinomios (una instancia de uso teórica)

Enviado por jmd el 19 de Abril de 2009 - 21:08.

Al dividir un polinomio $P(x)$ entre $ x-5 $ el residuo es 2, y al dividirlo entre $ x-2 $ el residuo es 5. ¿Cuál es el residuo al dividirlo entre $ x^2-7x+10 $?

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Acuérdate de la división de polinomios. Ayúdate con estos apuntes de un profe de Michoacán:

http://www.epler.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/index.htm [1]

Solución

Por:

jmd

Fecha:

8 May 2009

Solución:

Según los datos $P(x)=Q(x)(x-5)+2=R(x)(x-2)+5$. Y cuando se divide entre $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$, se debería tener $P(x)=S(x)(x-2)(x-5)+r(x)$. Y se quiere saber la forma de $r(x)$.

Consideremos entonces las identidades $Q(x)(x-5)+2=R(x)(x-2)+5=S(x)(x-2)(x-5)+r(x)$ y despejemos $r(x)$ en cada igualdad, factorizando lo que haya que factorizar. Debería ser claro entonces que, según el dato de los residuos, $r(x)=q(x)(x-2)+2=s(x)(x-5)+5$. (Esta aseveración no es clara si insistimos en saber cómo es $q(x)$ y $p(x)$, pero aquí lo que interesa es el residuo y entonces $r(x)=q(x)(x-2)+2$ se debe leer como "un polinomio por $x-2$ más 2".)

Si suponemos $r(x)$ de la forma lineal $ax+b$ (si fuese de grado mayor se podría seguir dividiendo), deseamos encontrar los valores de $a$ y $b$. Para ello tenemos que

$P(5)=2=5a+b$, y $P(2)=5=2a+b$. Resolviendo el sistema se obtiene $a=-1, b=7$. La respuesta es entonces que el residuo buscado es $r(x)=–x+7$.

Posiblemente el más difícil

Enviado por jmd el 19 de Abril de 2009 - 21:18.

Posiblemente el más difícil del concurso Ciudades de la XXIII OMM tamaulipeca. El problema obliga al cognizador a explicitar en su mente el algoritmo de la división de polinomios. Es decir, con seguridad sí lo ha practicado en varios ejercicios pues se enseña en secundaria, pero el problema requiere hacerlo conciente y aplicar de manera abstracta algunas de sus propiedades. Por ejemplo, el residuo tiene que ser un polinomio de grado menor que el polinomio divisor --obvio, pero no antes de repensar el algoritmo en su mente o con un ejemplo...

Por otro lado, al aplicar el algoritmo de la división de polinomios en ejercicios escolares, es común que se haga solamente con un divisor de la forma $x-a$, y aquí el divisor es cuadrático. Y esto es un primer obstáculo para razonar el problema. Otro obstáculo es que el problema requiere un abordaje abstracto.

Me explico: en la práctica se calcula el cociente y el residuo de $P(x)/D(x)$ como $P(x)/D(x)=Q(x)+R(x)/D(x)$, y posiblemente ni siquiera así, porque lo que el adolescente evoca es solamente la "casita", algo así como

         Q(x)
        ________
D(x)| P(x)

          R(x)

Y lo que el problema requiere es ver el resultado de la división como P(x)=Q(x)D(x)+R(x). (Habría que decir que un primer obstáculo para entrarle al problema es factorizar el polinomio divisor. Mejor dicho, el que se llegue a maliciar que hay que factorizarlo para continuar razonando el problema.)

Los saluda

jmd

PD: échenle un ojo a estos apuntes de álgebra de un profe de Michoacán http://www.epler.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/index.htm [1]

Álgebra [2]
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