Resolver el sistema de ecuaciones (donde $a,b$ son constantes):
Dar, además, las condiciones que deben satisfacer $a,b$ para que las soluciones del sistema $x,y,z$ sean números positivos distintos.
Incorporar la tercera ecuación en la segunda y eliminar $x+y$ de las primeras dos así transformadas. Esto da una solución para $z$ en términos de $a,b$. Con ello se tienen los valores de $x+y$ y $xy$ en términos de $a,b$ y se procede a analizar la cuadrática $t^2-(x+y)t+xy=0$
Aquí el sistema no es simétrico en las tres variables, pero sí lo es en $x,y$. Se aprovechará esta simetría para aplicar lo que sabemos de los polinomios simétricos elementales.
Primero observemos que $(x+y)^2=x^2+y^2-2xy=x^2+y^2-2z^2$ --incorporando la tercera ecuación en la segunda. Esto permite quedarnos con las dos primera ecuaciones en la forma: $$x+y+z=a$$ $$(x+y)^2-z^2=b^2$$ Y se ve que se puede eliminar $x+y$: $b^2+z^2=(a-z)^2$. Esto resulta en una cuadrática en $z$. Mejor dicho, resulta en una ecuación lineal en $z$ pues la $z^2$ se cancela, y se obtiene $z=\frac{a^2-b^2}{2a}$.
(Y sabemos, por la tercera ecuación del sistema, que $xy=z^2$.) Por otro lado $x+y=a-z=(2a^2-a^2+b^2)/(2a)=\frac{a^2+b^2}{2a}$.
Tenemos entonces los valores de $x+y$ y de $xy$ en términos de $a$ y $b$, y de aquí que (por Vieta) $x,y$ son las raíces de la cuadrática $t^2-(x+y)t+xy=0$. Lo que sigue es aplicar la fórmula general para resolver la cuadrática y analizar el discriminante para determinar las condiciones bajo las cuales las soluciones $x,y$ son números positivos distintos. Lo cual se deja al lector. (Y quizá éste podría desear visitar el sitio de la AoPSWiki [1], para una solución más completa.)
Enlaces:[1] http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/1961_IMO_Problems/Problem_1 [2] https://www.matetam.com/problemas/algebra [3] https://www.matetam.com/categoria/nivel/avanzado
