IMO 2009, Problema 5

Enviado por jesus el 1 de Agosto de 2009 - 22:58.

Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden

$$a, f(b) \textrm{ y } f(b + f(a) - 1)$$

(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).

Sugerencia

Por:

jesus

Sugerencia:

Demuestra que si $1 $, $ a$ y $ b$ son los lados de un triángulos con $ a$ y $ b$ enteros positivos, entonces $a = b$.
Usa el paso anterior para demostrar que $ f(b) = f(b + h) $ donde $ h = f(1)-1$.
Demuestra que $h=0$. O de lo contrario $ f$ será una función cíclica de orden $ h$ y busca de aquí una contradiccón.
Demuestra que $f(f(a))=a$ para toda $ a$.
Analiza qué pasa cuando en un triángulo de lados enteros uno de sus lados mide 2.
Usa tu observación junto con las propiedades que ya has encontrado de $ f$ para demostrar que $f(x) = x$ par toda $ x$.

Ver también:

IMO 2009 Problema 1 [1]

Ver también:

IMO 2009 Problema 2 [2]

Ver también:

IMO 2009, Problema 3 [3]

Ver también:

IMO 2009 Problema 4 [4]

Álgebra [5]
Experto [6]
IMO 2009 [7]