Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen $ ab = cd$ . Muestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.
Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen $ ab = cd$ . Muestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.
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Aunque se trata de un
Aunque se trata de un problema sencillo, me parece muy interesante ya que combina álgebra con teoría de los números. Mi solución va así:
Evidentemente $c$ divide a $ab$, por lo que $c=\alpha \beta$ tal que $\alpha | a$ y $\beta | b$, entonces $d = ab/c = (a/\alpha)(b/\beta)$.
Sustituyendo los valores de c y d: $$a + b+c+d = a + b + \alpha \beta + \frac{a}{\alpha}\frac{b}{\beta} = (\frac{a}{\alpha} + \beta)(\frac{b}{\beta} + \alpha)$$
Como cada factor es mayor a 1, se sigue que $a+b+c+d$ no es primo.
Lo que me intriga es, ¿dónde está la mágia de los números primos?
Saludos
Este problema es de mis
Este problema es de mis favoritos, y es que tiene algo ''raro'' ya que cuando yo lo hice por primera vez, y después que me ha tocado proponerselo a varias chicos, no hemos podido hacer lo hiciste tú Jesús, esta parte de la existencia de $ \alpha$ y $\beta$, y bueno la verdad no sé porque sucedio eso jaja creo que es por que al principio cambiar de ideas de números a ideas de álgebra lo vuelve complicado.
La solución que yo contemplaba concluye con ''Si a+b+c+d fuera primo entonces..." apela a una propiedad bien conocida y que solo sucede con los números primos, pero es una solución bien oscura, definitivamente ahora que proponga este problema también mostraré tu solución, si me lo permites.
Saludos
germán