P5 OMM 1992. Desigualdad con suma de radicales

Probar que $6<S$ es sencillo asi que solo demostraré que $S \leq 3\sqrt{5}$. La idea clave es demostrar que $ S\sqrt{5} \leq 15$ Notemos que por MA-MG: $$ (*)        \sqrt{5(2x+3)} \leq \frac{8+2x}{2} = x+4$$ Con igualdad si y solo si $ 2x + 3 = 5$ es decir si $x=1$ Haciendo lo mismo con los otros dos radicales obtenemos: 

$$ S\sqrt{5} = \sqrt{5(2x+3)} + \sqrt{5(2y+3)} + \sqrt{5(2z+3)} \leq (x+4) + (y+4) + (z+4) = 15 $$ La igualdad se da si en cada desigualdad $(*)$ se da la igualdad si y solo si $x=y=z=1.$

 Acabamos.

Lamentablemente, solo es una demostracion más de desigualdad ''de la derecha'' como se comenta arriba, crei que la solucion a la que le llamaban sencilla era 6 < S porque según yo le habia encontrado una solucion muy rapida(que estaba equivocada) asi que solo me dedique a la de la izquierda que de pasó me quedo my bonita la demostracion pero no era muy complicado hacerlo con la media cuadratica tambien. Ahora bien, demostrar que S>6 se hace como sigue:

Notemos que $2x+3 = 2x + x+y+z = (x+y+z)x + y+z = x^2 + (x+1)(y+z)$ denotemos por $ a = (x+1)(y+z) $ de manera analoga definiremos $b,c$ para $y,z$ respectivamente. Ahora aplicando MG-MH tenemos $(x+1)(y+z) \geq (\frac{(x+1)(y+z)}{2})^2$ es decir $a \geq (\frac{a}{2})^2$ es decir $ \sqrt{2x + 3} \geq \sqrt{x^2 + (\frac{a}{2})^2} = x_1$ de manera analoga definiremos $y_1 , z_1$ entonces podemos probar que $x_1 + y_1 + z_1 \geq 6$ si dividimos ambas expresiones entre $\sqrt{8}$ la de la derecha se reduce a $\frac{3}{\sqrt{2}}$. Esto para hacer lo siguiente. Notemos que $$\frac{x_1}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{x^2 + (\frac{a}{2})^2}{8}} = \sqrt{\frac{4(\frac{x}{2})^2 + 4(\frac{a}{4})^2}{8}} \geq \frac{4\frac{x}{2} + 4\frac{a}{4}}{8}$$ despues de haber aplicado MA-MC en la ultima parte. Haciendo lo mismo con los otros dos radicales podemos notar que $$\frac{x_1 + y_1 + z_1}{\sqrt{8}} \geq \frac{2(x+y+z) + a+b+c}{8}$$ queremos demostrar que esta ultima expresion es mayor a $\frac{3}{\sqrt{2}}$ por la simetria de las expresiones a,b,c sabemos que $a+b+c = 2(x+y+z + xy+ yz+ zy)$ y pasando el 8 asi el otro lado queda que $ 4(x+y+z) + 2(xy+yz+zx) \geq 12$ Lo cual es cierto pues $x+y+z = 3$ y $2(xy + yz +zx) \geq 0$.

Agradeceria que me corrigieran.

Saludos

Germán.

Hola Jesús :) 

Cierto..! ya vi el error, esta en que queria demostra que la expresion era mayor a $\frac{3}{\sqrt{2}}$ y al ''pasar'' el 8 al otro lado resultaba $\frac{3}{\sqrt{2}} \times 8 = 12$ lo cual no es cierto..... seguire intentandolo entonces. 

Gracias por tu observación.

A ver que tal asi:

La desigualdad pedida es equivalente a demostrar que $$ \sqrt{9(2x+3)} + \sqrt{9(2y+3)} + \sqrt{9(2z+3)} > 18$$ Aplicando MG-MH a cada radical, bastara probar que: $$ \frac{2\times9(2x+3)}{2x+12} + \frac{2\times9(2y+3)}{2y+12} + \frac{2\times9(2z+3)}{2z+12} \geq 18$$ haciendo las cancelaciones pertinentes es equivalente a demostrar que $ \frac{2x+3}{2x+12} + \frac{2y+3}{2y+12} + \frac{2z+3}{2z+12} = 3 - \frac{9}{2}(\frac{1}{x+6} + \frac{1}{y+6} + \frac{1}{z+6}) \geq 1$ que ocurre solamente si $$ \frac{1}{x+6} + \frac{1}{y+6} + \frac{1}{z+6} =$$

$$ \frac{xy + yz + zx + 144}{xyz + 6(xy+yz+zx) + 324} \leq \frac{4}{9}$$ lo cual es cierto pues $ 9(xy + yz + zx) + 9(144) \leq 4( xyz + 6(xy+yz+zx) ) + 4(324)$, es obvio ya que $ 9(144) = 1296 = 4(324)$.

No hay igualdad pues para tener la igualdad desde $S$ al pasar a MG-MH se necesitaria que los terminos fueran iguales, pero por otro lado para que exista la igualdad en esta ultima desigualdad implicaria que dos de los terminos son cero, pero no pueden ser ambas ciertas. 

Germán.

Fiu!.. alfin... me tenia atrapado este problema... nosé si habria una solucion a partir de las transformaciones de $ 2x + 3 = x^2 + (x+1)(y+z)$ se veia elegante pero ya no me quizé ir por esa ruta. La idea de multiplicar por 3 la saqué de el primer comentario que hize... dije tal ves si multiplico por algo  padre y luego aplico MG-MH, el dos de la fracciones se iria con el factor dos del seis... y bueno ya continue, otro obstaculo fue querer encontrar alguna relacion de la medias para demostrar que la suma de los reciprocos de $x+6,y+6,z+6$ era mayor a $ \frac{4}{9}$ y no quedo más que hacer la suma de fracciones y confiar en que las cosas se vieran claras y pues asi fue afortunadamente jaja.

Por cierto, los comentarios que haces arriba  ¿Eran para demostrar que $(2x+3)(2y+3)(2z+3) > 64 $ ?

Saludos y gracias nuevamente de que revisaron mis soluciones:)

Germán.