Partir la baraja

Enviado por jmd el 15 de Agosto de 2009 - 06:51.

Sea $ n $ un entero positivo. Una baraja de $2n$ cartas contiene exactamente dos cartas marcadas con cada uno de los enteros $1,2,\ldots,n.$ Las cartas se ordenan en la forma $1,1,2,2,3,3,...,n,n.$ La baraja ya ordenada de esta manera se parte, y resulta que, en las dos partes, los dígitos en las cartas suman la misma cantidad. Ejemplo: si $n=2$, las cartas están en el orden $1,1,2,2$ y hay tres formas de partir la baraja, pero en ninguna forma los dígitos en las cartas suman la misma cantidad (1 y 5, 2 y 4, 4 y 2); en cambio, si $n=1$ si es posible lograr la misma suma en las dos partes. ¿Para qué otros dos valores de $ n $ se puede lograr la misma suma?.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

15 Ago 2009

Solución:

La suma de los primeros n naturales es $n(n+1)/2.$ Por tanto, la suma de los números en las cartas es $n(n+1).$ La baraja se puede partir de dos formas: ya sea que la parte superior tenga las carta de 1,1 hasta m,m; o bien desde 1,1 hasta m --con m alguno de los números adheridos a las cartas. En el primer caso la suma de los números de la parte superior es $m(m+1)$, y en el segundo es $m(m+1)-m=m^2.$

De aquí se obtienen , para cada caso, las ecuaciones $m(m+1)=n(n+1)/2$ o $m^2=n(n+1)/2.$ Es decir, $n(n+1)=2m(m+1)$ o bien $n(n+1)=2m^2.$ El método es por fuerza bruta: damos el valor de n, obtenemos n(n+1) y checamos si es el doble de un cuadrado o el doble del producto de dos consecutivos.

n       n(n+1)
2       6 =2(3) no
3     12=2(6)=2(3)4 sí (para n=3 es posible partir la baraja como se pide)
4      20=2(10) no
5      30=2(15) no
6      42=2(21) no
7      56=2(28) no
8      72=2(36)=2(6^2) sí (para n=8 es posible partir la baraja como se pide)
Por tanto, la respuesta es: otros dos números n para los que es posible cortar la baraja como se pide son 3 y 8.

El problema evalúa la

Enviado por jmd el 15 de Agosto de 2009 - 09:54.

El problema evalúa la habilidad de modelación algebraica del preseleccionado. Y pues también sus conocimientos algebraicos básicos (la suma de los primeros naturales), así como sus predisposiciones o actitudes para aplicar el método de fuerza bruta cuando es necesario. (Una vez planteadas las ecuaciones tiene que ver que la fuerza bruta es el método adecuado.) Es fácil, pero sólo si se sabe modelar y se conoce la fórmula para la suma de los primeros naturales y ésta se ha usado en otros problemas. (No se descarta que se "ahorren" el paso de modelación.)

Desglose y criterios de evaluación sugeridos

a) Ver las dos formas en que se puede partir la baraja sin llegar a ver nada más, quizá intentando establecer alguna ecuación (1 punto --de consolación).
b) Establecer las ecuaciones pero sin poder usarlas para continuar (1 punto).
c) Usar las ecuaciones y lograr los otros dos valores de n (5 puntos).
d) Encontrar los otros dos valores de n de alguna otra forma pero mostrando los cálculos de cómo los encontró (7 puntos).

Álgebra [1]
Intermedio [2]