Sistema de ecuaciones en tres variable (P5)

Un comentario primero, el problema original decía reales positivos. Esto es importante mencionarlo, porque mi solución es valida solamente para reales positivos (técnicas que utilizé debido a que el problema decía reales positivos).

Escribimos las ecuaciones como

$$xz+y=2z$$

$$xy+z=2x$$

$$zy+x=2y$$

Sumando las tres llegamos a la ecuacion 1:

$$xy+yz+zx=x+y+z$$

Luego por MA-MG

$$\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{yzx}{zxy}}=3$$

Sumando las tres originales tenemos

$$x+y+z+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}=6$$

Entonces por la desigualdad y la igualdad

$$3\geq x+y+z$$

Además por MA-MG

$$3\geq x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}$$

Por lo que tenemos

$$1\geq xyz$$

Ahora escribimos las ecuaciones como

$$\frac{x}{y}=2-z$$

$$\frac{y}{z}=2-x$$

$$\frac{z}{x}=2-y$$

Multiplicandolas obtenemos

$$1=(2-z)(2-x)(2-y)$$

Que es lo mismo que

$$1=8-4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-xyz$$

Y por la ecuación 1 y un reacomodo tenemos que

$$7-xyz=2(x+y+z)$$

Por $3\geq x+y+z$ y por $1\geq xyz$ tenemos que

$$7-xyz \geq 6 \geq 2(x+y+z)$$

Entonces la igualdad se logra si y solo si ambos son iguales a 6

$$7-xyz=6=2(x+y+z)$$

Por lo que

$$x+y+z=3$$

Y es facil encontrar al menos un caso de igualdad que cumple todo con $(x,y,z)=(1,1,1)$

Gracias Isaí, me parece muy buena tu solución. Y muchas gracias por toda tu colaboración.  Ya puse que los números eran reales positivos.

Saludos