Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que
$ \frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}\geq 1$ y que $ \frac {1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} \leq 1$
Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que
$ \frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}\geq 1$ y que $ \frac {1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} \leq 1$
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[2] https://www.matetam.com/categoria/nivel/intermedio
[3] https://www.matetam.com/problemas/categoria/olimpiada-mexicana-matematicas/xxiii-omm-2009
Para la primera parte se
Para la primera parte se puede usar el principio del minimo de arthur engel.
Para la segunda parte se puede multiplicar por $(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)$ en ambos lados de la desigualdad y partir de allí.
Un buen problema, yo resolví
Un buen problema, yo resolví la primera parte...
a^3 b^3 c^3
----------- ------------ ------------- =
a^3+2 b^3+2 c^3+2
a^3(1/a) b^3 (1/b) c^3(1/c)
---------------- + ------------------ + ------------------ =
a^3+2(1/a) b^3+2(1/b) c^3(1/c)
a^2 b^2 c^2
------------------ + ------------------------- + ------------------------ >=
a^3+2 b^3+2 c^3+2
---------- ------------ -----------
a b c
(a+b+c)^2
-------------------------------------------------=
bc(a^3+2) + ac(b^3+2) + ab(c^3)
(a+b+c)^2 (a+b+c)^2
------------------------------------ = ---------------------= 1
a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab (a+b+c)^2
LQQD
perdon pero soy principiante asi que no se como escribirlo bien...
en el cuarto paso utilice "una desigualdad util"
Creo que la segunda parte es equivalente a la primera pero no recuerdo como llegar de una a la otra
Perdon por el error en el
Perdon por el error en el paso 2
a^3(1/a) b^3 (1/b) c^3(1/c)
--------------- + ------------------ + ------------------ =
(a^3+2)(1/a) (b^3+2)(1/b) (c^3+2)(1/c)
Corregido
Con $\frac{a^3 }{a^3+2
Con $\frac{a^3 }{a^3+2 }=1-\frac{2 }{a^3+2 }$ la primera desigualdad se reduce a la segunda, con lo que solo hace falta probar esta última.
Alguien sabe que es, el principio del mínimo de arthur engel?