2n-agono

Enunciado

Demostrar que para n natural mayor que 1, cualquier 2n-ágono convexo tiene una diagonal que no es paralela a ningún lado.

Solución

El número de diagonales es $2n(2n-3)/2$. Suponiendo, por contradicción, que hubiese un 2n-ágono en el cual cada una de sus diagonales es paralela a algún lado. Entonces, como cada diagonal tiene la dirección de uno de los lados –y son 2n lados–,debe haber un lado del polígono paralelo a al menos $(2n-3)/2$ diagonales. Pero $2n-3$ es impar. De aquí que $(2n-3)/2$ no es entero. Entonces podemos corregir la afirmación y decir que existe un lado del polígono que es paralelo a$ (2n - 2)/2 = n-1$ diagonales. Pero, aparte de los dos vértices del lado considerado, quedan 2n-2 vértices, y con las n-1 diagonales paralelas al lado quedan todos ocupados. (Notemos que un vértice de los 2n-2 que quedan no puede ser ocupado por más de una diagonal porque entonces ya no serían paralelas.)

Se tienen entonces n segmentos paralelos, uno de los cuales es un lado del polígono y los otros $n-1$ deben ser diagonales. Consideremos de éstas la diagonal más alejada del lado. Esta diagonal, al extenderla a una recta sobre todo el plano, deja todos los puntos sobre un mismo semiplano. Lo que contradice el hecho de que era diagonal (las diagonales dejan puntos en ambos semiplanos) . Por lo que hemos probado lo que queríamos demostrar.