3.- Los delegados de Tamaulipas jugando una modificación de ajedrez

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:57.

Considera un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Orlando y Moisés juegan alternando turnos, comenzando por Orlando. Cada uno en su turno coloca un alfil en alguna casilla del tablero vacía, de tal forma que los alfiles no se ataquen entre sí. Pierde el jugador que coloque un alfil que sea atacado por otro previamente. Si los alfiles son del mismo color (es decir, o tienen puros alfiles blancos o puros alfiles negros), determina quién tiene una estrategia ganadora y descríbela.
Nota: un jugador puede atacarse a sí mismo.

Sugerencia

Sugerencia:

Simetría de espejo?? Demuestra que si partes el tablero de ajedrez a la mitad, Moisés podrá copiar los movimientos de Orlando y eventualmente ganar.

Solución

Solución:

La estrategia se basa en simetría: Si Orlando puso un alfil en la casilla $(i,j)$ entonces Moisés puede poner un alfil en la casilla $(9-i,j)$. Si Moisés no puede poner un alfil en esa casilla, significa que esa casilla ya andaba atacada por otro alfil en la misma diagonal, digamos que había un alfil en la casilla $(9-i+\epsilon_1\cdot k,j+\epsilon_2\cdot k)$ donde $\epsilon_1$ y $\epsilon_2$ son $\pm 1$. Pero por la estrategia de simetría, eso signfica que si Orlando puso una ficha ahí, entonces Moisés debió poner una ficha en $(9-(9-i+\epsilon_1\cdot k),j+\epsilon_2\cdot k)=(i-\epsilon_1\cdot k,j+\epsilon_2\cdot k)$ lo cual implica que la casilla $(i,j)$ ya andaba atacada y entonces Orlando nunca pudo poner una ficha ahí. De manera análoga si Moisés fue el que puso la ficha en $(9-i+\epsilon_1\cdot k,j+\epsilon_2\cdot k)$ entonces Orlando debió poner antes un alfil en $(i-\epsilon_1\cdot k,j+\epsilon_2\cdot k)$ lo cual llega a la misma contradicción. Como el tablero es de $8 \times 8$, eventualmente Orlando se va a quedar sin movimientos.