Los cuadernos del Chico Fresa

Tenemos que a Baldo le pueden tocar $3,4,...,11$ (no puede ser mayor a 11 ya que fuese asi no a todos les tocaría algun(os) cuaderno(s)) ; a Carlos $2,3,...,10$; a Daniel $1,2,...,9$ al igual que a Eulogiio; El enunciado dice que le puede tocar cualqier numero a Eulogio; lo cual me hace pensar que podria ser 0; pero creo qe no es correcto ya que si a el le dieran 0; seria lo mismo que decir que no le dan; por lo tanto se repartiría entre 3 de sus amigos; no entre cuatro;

Ahora bien; podemos notar que no se ocupan todos los elementos; no importa el orden y no se repiten los elementos ya que no le puede dar a un amigo dos o mas veces un mismo cuaderno; por lo que hablamos de una combinación sin repeticion; por tanto usaremos la formula:  $\binom{m}{n}=m!/n!(m-n)! $

Entonces a Baldo le tocarian;

$\binom{15}{3} + \binom{15}{4} + \binom{15}{5} + \binom{15}{6} + . . . + \binom{15}{11} =B=32071 $

 A Carlos

$\binom{15}{2} + \binom{15}{3} + \binom{15}{4} + \binom{15}{5} + ...  + \binom{15}{10} =C=30811 $

Danieel y a Eulogiio:

$\binom{15}{1} + \binom{15}{2} + \binom{15}{3} + \binom{15}{4} + . . . + \binom{15}{9} =D=27823 $

entonces tenemos que el numero de formas en que puede distribuir los 15 moleskine entre sus 4 amigos es $(B)(C)(D)(D)=(32071)(30811)(27823)^2$

Espero que este bien La verdad combinatoria no se me da;pero ya es tiempo de qe se me de haaha;  profe; me gustaria que me dijiera donde esta el error; en caaso de que lo haya; por Cierto ud. puso la sugerencia de combinatoria qon Repeticion; pero  yo creo qe no es asi; lo explique en el problema; :)

Saludos;

Sadhi(:

Hola Sadhi: nota que las restricciones son cotas inferiores; y si no hay restricción para Eulogio...

La sugerencia fue "combinaciones con repetición" y éstas se pueden modelar mediante una diofantina (B+C+D+E=15). Consulta mi post...

Gracias y un saludo

jmd

PD: ¿por qué dices que no son combinaciones con repetición?

Bueno, pues tengo una vaga idea...

tenemos qe Baldo=B, C=Carlos, D=Daniel, E=Eulogio... los datos del problema nos dicen que

B es mayor ó igual a 3

C > ó = a 2

D > ó = a 1

( E puede ser cualquier número, así que no hay restricción)

...Luego tenemos que: 

 B=b`+2

C= c`+1

con D no hay problema porque es mayor o igual a 1

ahora... b`+2+c`+1+D+E = 15

            b`+c`+D+E = 12

y ya aqui aplicamos la fórmula $\binom{n+r-1}{n-1}$

n=12  r=4

y vendría quedando algo así como $\binom{15}{11}$

( qe es igual a 1365)... se me hacen muchas :/

Bueno, al menos eso creo;

Ya casi lo tienes. El problema es que E puede ser cero y ya tu transformación no es para valores positivos de las variables (lo cual interpreto que querías lograr...)

Los saluda

jmd

mmm.... he estado pensando; pero no se me ocurre como expresar lo que le toca a Eulogio :(  ... tambien estoy pensando en dividir en casos... cuando a Eulogio le toca cero, cuando le toca uno...etc... bueno; seguiré pensando a ver que se me ocurre ... nos vemos el sabado en el selectivo

O.K. Entiendo que se dan... Aquí va la solución:

Tenemos que resolver $B+C+D+E=15 $ pero bajo las restricciones de que B sea al menos 3, C al menos 2 y D al menos 1 (y E al menos 0). Aquí hay dos formas de seguir: o bien transformamos la ecuación a que las soluciones sean no negativas o bien a que cada variable obtenga el valor de al menos una unidad. (Porque estas dos formas ya las sabemos resolver --ver el post de conteo con repetición [1])

Veamos la segunda transformación: Para que a Eulogio tenga al menos un cuaderno en el reparto, el Chico Fresa le da uno de los suyos --pero después del reparto se lo va a quitar. Entonces son 16 cuadernos. Antes de repartir le damos 2 a Baldo y 1 a Carlos, así que nos quedan 13 molesquines. Ahora tenemos que resolver la ecuación $B+C+D+E=13$  donde cada variable tiene que ser positiva. Y eso ya lo sabemos resolver: ponemos los 13 cuadernos alineados y elegimos 3 espacios de entre los 12 disponibles para poner el signo más (eso asegura al menos uno para cada quien). Y eso se puede hacer de $C(12,3)$  formas.

La otra forma de transformar el problema es dándoles, antes de repartir, los 3 cuadernos a Baldo, los 2 a Carlos y uno a Daniel. Y nos quedan 9 cuadernos por repartir. El número de formas de lograr esa repartición es resolviendo la ecuación $B+C+D+E=9$  para enteros no negativos de las variables. Y ese número se calcula con la fórmula $C(9+4-1,3)=C(12,3).$  (Notemos --en el post-- que para lograr esta fórmula también se utiliza el mismo truco: añadimos 4 moleskines ficticios para poder resolver la ecuación$ B+C+D+E=13$  para valores enteros positivos.) 

Las saluda

jmd

PD: Regla: para resolver este tipo de problemas parece más intuitiivo (más fácil de asimilar cognitivamente) transformarlos primero a la forma de soluciones en enteros positivos... Y una regla general es transformar el problema a uno que ya sepamos resolver...