Sea $n$ un entero positivo. María escribe en un pizarrón las $n^3$ ternas que se pueden formar tomando tres enteros, no necesariamente distintos, entre $1$ y $n$, incluyéndolos. Después, para cada una de las ternas, María detetermina el mayor (o los mayores, en caso de que haya más de uno) y borra los demás. Por ejemplo, en la terna $(1,3,4)$ borrará los números $1$ y $3$, mientras que en la terna $(1,2,2)$ borrará sólo el número $1$.
Muestra que, al terminar este proceso, la cantidad de números que quedan escritos en el pizarrón no puede ser igual al cuadrado de un número entero.
sin perdida de generalidad
sin perdida de generalidad siempre hay numeros a,b,c tales que:
a$\geq$b$\geq$c
pero hay 4 casos de ordenarlos:
1)a=b=c 2) a=b>c 3) a>b=c 4) a>b>c
ahora contaremos la cantidad de numeros que quedaran despues de eliminar los numeros.
1) a=b=c entonces (n,1,1) hay n numeros de esa forma,pero como los 3 son iguales,no hay mayor,habra $3n$ en el pizarron.
2)a=b>c (n,1,n-1),aqui se debe tomar en cuenta que un numero se esta contando [k,k,m] y [m,m,k] pero como solo uno es el mayor se debe dividir entre 2,y como el numero [k,k,m] se permuta 3 veces no obstante como son 2 numeros los mayores el conteo queda asi: $3n(n-1)$
3) a>b=c Este caso es analogo al otro pero como ahora solo se elige 1 numero queda el conteo asi:
$\frac{3n(n-1)}{2}$
4) a>b>c Como se puede hacer: (n,n-1,n-2) ese sera el conteo ya que como hay 6 formas de acomodar los numeros [k,m,l] y el total de permutaciones es $C(n,3)$=$\frac{(n)(n-1)(n-2)}{6}$ y al multiplicarlo por 6 da lo ya mecionado: $n(n-1)(n-2)$
Ahora sumando los casos tenemos al final con una buena manipulacion algebraica: $\frac{(n)(n+1)(2n+1)}{2}$ demostraremos que no es un cuadrado:
es facil demostrar que los 3 factores son primos relativos por lo que almenos 2 deben ser cuadrados perfectos,y uno es $2n+1$ ya que si no fuera entonces $n$ y $n+1$ serian los cuadrados,pero no hay cuadrados positivos de diferencia 1.
ahora bien hagamos 2 casos,para n de las formas $2k$ y $2k+1$
caso $n=2k$ entonces sustituyendo a la expresion obtenida tenemos:
$\frac{2k(2k+1)(4k+1)}{2}$=$k(2k+1)(4k+1)$al eliminar el factor 2 que teniamos nos quedan solo cuadrados perfectos,entonces como k es cuadrado entonces $4k$ tambien lo es,pero como $4k+1$ debe ser cuadrado lo que no es posible entonces se niega para el caso.
caso $n=2k+1$ entonces sustituyendo a la expresion tenemos:
$\frac{2k+1(2k+2)(4k+3)}{2}$=$2k+1(k+1)(4k+3)$
pero como $4n+3$ debe ser cuadrado lo que no es posible ya que los cuadrados $mod 4$ dan residuos 0,1. Asi que para este caso no hay soluciones.
Por lo tanto nunca la cantidad de numeros en el pizarron es un cuadrado perfecto.
Hola David, Es claro que el [4]
Hola David,
Es claro que el problema se divide en dos partes: Hacer el conteo y demostrar que dicha expresión jamás es un cuadrado perfecto.
La segunda parte esta perfecta, bien escrita y argumentada. En la primera no es así, te digo por qué:
A pesar de ello, no es un problema en el que sea dificil de seguir las ideas pero en uno complicado de escribir podria llegar a ser grave no saber expresarte.
De todas formas de escribirlo así obtendrias todos los puntos.
Saludos
Germán